Metoda mersului invers (cu un pic de metoda figurativa si niste fractii) - probleme de matematica rezolvate

Metoda mersului invers = este acea metoda matematica in care rezolvarea exercitiului / problemei se face de la sfarsit (sau rezultat) catre inceput.

Aceasta nu este o metoda grea pentru copil, dar este o metoda care-l face sa greseasca foarte des, din neatentie (v-am povestit cum am scos-o la cap cu ecuatiile complexe, cu necunoscuta X, care se rezolva pe baza acestui principiu). 

Acum m-am gandit sa scriu putin si despre problemele care se rezolva in acest mod si bineinteles nu "orsice", am ales problemele care se rezolva prin metoda figurativa + metoda mersului invers + niste fractii.

Dupa cum v-am mai spus mie imi plac lectiile presarate cu glume si asociatii haioase de aceea cred ca aceasta metoda poate fi inteleasa mult mai bine de copil, daca o asociem cu mersul pe:

-  un munte - atunci cand se merge invers pe un munte inseamna sa cobori nu tot sa urci.

Dar puteti folosi si alte asociatii, de exemplu, decolarea avionului vs. aterizarea lui, dezbracarea unei rochite a unei papusi vs imbracarea ei etc..

Motivul asocierii este fixarea in capusorul copilului a faptului ca nu repetam operatiile din exercitiu sau problema, adica:

• daca intr-un exercitiu avem "+", atunci cand rezolvam invers vom avea "-" (prilej de a vorbi despre schimbarea semnelor daca doriti desi ea se va invata mai tarziu in gimnaziu).  
• parantezele se rezolva invers nu mai incepem cu cea rotunda vom desfiinta intai acolada si apoi paranteza dreapta si la sfarsit parantezele rotunde.
• daca discutam despre un traseu vom analiza situatia de la punctul de sosire spre pornire si vom calcula lungimea acestuia etc.

Dupa ce le-am facut copiilor aceste precizari, sansele de aparitie al eventualelor greseli din neatentie (sau nestiinta) se vor diminua considerabil.

Dar cum matematica inseamna exercitii si probleme nu "vorbarie", iata niste exemple rezolvate:

Exemplul 1

"Cristina a primit o cutie de bomboane de la parintii sai. In prima zi a mancat impreuna cu prietene sale jumatate din bomboane, a doua zi a mancat 1/4 din bomboanele ramase, iar a treia zi jumatate din noul rest. Stiind ca in a patra zi a mancat ultimele 3 bomboane din cutie, afla cate bomboane erau in cutie." (Matematica, Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, Editura Aramis, Mariana Mogos si Stefan Pacearca)

Rezolvare:

Pasul 1 - desenul

VAR. A - desenul din aproape in aproape (daca vrei forma finala, sari peste explicatii, pana la Rezumat Var.A). In cazul desenului pornesc de la inceput catre sfarsit cu primele date.

• Desenez un segment care reprezinta cutia de bomboane (recomand foaie de matematica pentru usurarea reprezentarii grafice)

• apoi il impart in doua - bomboanele mancate in prima zi sunt jumatate (1/2) din toata cantitatea

• continui si impart in patru segmentul care reprezinta bomboanele ramase

• iau 1/4 din bomboanele ramase  - adica bomboanele mancate in a doua zi

• impart in jumatate "noul rest" ( am sters vechile liniute care imparteau segmentul ramas in trei si l-am reimpartit  in doua)

• reprezint pe desen ca s-au mancat jumatate din ele

• reprezint pe desen ca in ziua a patra s-au consumat ultimele 3 bomboane

Rezumat Var. A
Pentru desenul final, pe baza caruia voi calcula bomboanele din cutie, voi apela la notatii diferite pentru a nu se amesteca informatiile si le voi grupa pe toate.

Var.B
Inainte de a trece la rezolvarea problemei vreau sa mai fac un alt tip de desen.

(Am pastrat tipurile de linii de mai sus pentru a arata cosrespondenta si a prezenta doar varianta finala.)



Principala diferenta dintre cele doua desene este scoaterea restului si desenarea separata a ceea ce se intampla cu fiecare rest in parte.

Pentru tipul de problema exemplificat mai sus nu este obligatoriu un asemenea detaliu, dar sunt alte tipuri de probleme in care restul sufera modificari si atunci scoaterea lui permite un control crescut aspura tuturor datelor problemei (vezi problema urmatoare). 

Pasul 2 - Rezolvarea

In cazul rezolvarii pornesc de la sfarsit catre inceput si cu ajutorul desenului de la varianta 2 (mi se pare mie mai clar) urmaresc parcurgerea datelor problemei.

Fara intrebari

Cu intrebari

In ziua 4 -> ultimele 3 bomboane (fac corespondenta dintre ziua 4 si ziua 3)  3 bomboane = 1/2 din bomboanele din ziua a 3-a Ziua 3 ->  3 + 3 = 6 bomboane (fac corespondenta dintre ziua 3 si ziua 2)  6 bomboane = 3/4 din bomboanele din ziua a 2-a 3 segmente = 6  => 1 segment = 6 : 3 = 2  2 bomboane = 1/4 din bomboanele din ziua a 2-a Ziua 2 -> 6 + 2 = 8 bomboane (fac corespondenta dintre ziua 2 si prima zi) 8 bomboane = 1/2 din totalul bomboanelor Ziua 1 -> 8 + 8 = 16 bomboane ( totalul bomboanelor din cutia de bomboane) R: 16 bomboane

Cate bomboane a mancat Cristina a treia zi? 1/2 = 3 bomboane (un numar egal cu bomboanele ramase) Cate bomboane au fost in cutie la inceputul celei de-a treia zi? 3 + 3 = 6 bomboane Cate bomboane a mancat Cristina a doua zi? 6 = 3/4  = 3 segmente 1 segment = 6 : 3 = 2,  1/4 = 2 bomboane Cate bomboane au fost in cutie la inceputul celei de-a doua zi? 6 + 2 = 8 Cate bomboane au mancat Cristina si prietenele ei? 1/2 = 8 bomboane Cate bomboane au fost in cutia de bomboane? 8 + 8 = 16 bomboane R: 16 bomboane

Verificare (pentru a efectua aceste verificari copilul trebuie sa stie ca expresia o fractie dintr-un numar, adica a/b din y, este egala cu fractia inmultita cu acel numar, adica a/b x y, adica  ay/b)
16 - 1/2 din 16 = 16 - 1/2 x 16 = 16 - 16/2 = 16 - 8 = 8
8 - 1/4 din 8 = 8 - 1/4 x 8 = 8 - 8/4 = 8 - 2 = 6
6 - 1/2 din 6 = 6 - 1/2 x 6 = 6 - 6/2 = 6 - 3 = 3 bomboane ramase



Exemplul 2:

"Ana, Daniel si Aurel au consumat caise dintr-o punga astfel: Ana cu 3 caise mai putin decat 1/3 din numarul total, Daniel cu 2 caise mai putin decat 1/3 din rest, iar Aurel cu o caisa mai putin decat 1/3 din ultimul rest .

Stiind ca in punga au mai ramas 9 caise, afla:
a) Cate caise au fost la inceput in punga;
b) Cate caise a mancat fiecare copil."
 (Matematica, Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, Editura Aramis, Mariana Mogos si Stefan Pacearca)

9 = numarul de caise ramase

      9 = 2/3 + 1 -> 2/3 = 9-1 = 8

      daca 2 segmente = 8  ->  1segment = 8 : 2 = 4 caise

Aurel a mancat cu o caisa mai putin decat 1/3

      4 - 1 = 3 caise a mancat Aurel
   
      segmentul verde (caisele ramase inainte de a lua Aurel) reprezinta:
      4 x 3 = 12 caise (adica 1 segment x 3)
      sau     9 + 3 = 12 caise (adica caisele ramase + cele mancate de Aurel)

      12 = 2/3 + 2   ->  2/3 = 12 - 2 = 10

      daca 2 segmente = 10  ->  1segment = 10 : 2 = 5 caise

Daniel a mancat cu 2 caise mai putin decat 1/3 din rest

     5 - 2 = 3 caise a mancat Daniel

     segmentul albastru  (caisele ramase inainte de a lua Daniel) reprezinta:
      5 x 3 = 15 caise (adica 1 segment x 3)
      sau     9 + 3 + 3 = 12 + 3 = 15 caise (adica caisele ramase + cele mancate de Aurel + cele mancate de
                                                                                                                                                        Daniel)

      15 = 2/3 + 3   ->  2/3 = 15 - 3 = 12
daca 2 segmente = 12  ->  1segment = 12 : 2 = 6 caise

Ana a mancat cu 3 caise mai putin decat 1/3 din numarul total

     6 - 3 = 3 caise a mancat Ana

     segmentul visiniu  (punga cu caise) reprezinta:
      6 x 3 = 18 caise (adica 1 segment x 3)
   

sau     9 + 3 + 3 + 3 = 12 + 3 + 3 = 15 + 3 =18 caise in total
(adica caisele ramase + cele mancate de Aurel + cele mancate de Daniel + cele mancate de Ana)
   
R:
la inceput in punga au fost 18 caise
Ana a mancat 3 caise
Daniel a mancat 3 caise
Aurel a mancat 3 caise


Verificare:
18 - 1/3 din 18 + 3 = 18 - 1/3 x 18 + 3 = 18 - 18/3 + 3 = 18 - 6 + 3 = 12 + 3 = 15
15 - 1/3 din 15 + 2 = 15 - 1/3 x 15 + 2 = 15 - 15/3 + 2 = 15 - 5 + 2 = 10 + 2 = 12
12 - 1/3 din 12 + 1 = 12 - 1/3 x 12 + 1 = 12 - 12/3 + 1 = 12 - 4 + 1 = 8 + 1 = 9 caise ramase

Precizare: Nivelul acestor probleme depaseste programa scolara pentru clasa a IV-a, parcursa la nivelul clasei,  si se adreseaza copiilor care doresc sa stie mai mult si sa participe la concursuri scolare si mai tarziu la olimpiade de matematica.

Spor la treaba si rabdare!

***

Raspuns catre un cititor - rezolvare problema comentariu 1

In primul rand desenul eu il realizez in doi pasi: pasul 1 reprezint cat a citit Andreea in prima zi (1/8 +5) si pasul 2 cat a citit in ziua 2 si 3.

(Rezolvarea porneste de la sfarsitul desenului catre inceput)
3 segmente = 175 + 5 = 180 pagini (desenul 2)
1 segment = 180 : 3 = 60 pagini,

Cate pagini a citit Andreea in ziua 2?
60+5 = 65 pagini

Cate pagini a citit Andreea in ziua 2 si 3?
60+180=240 pagini

7 segmente = 240 + 5 = 245 pagini (desenul 1)
1 segment = 245 : 7 = 35 pagini

Cate pagini a citit Andreea in prima zi?
35+5=40 pagini

Cate pagini are cartea ?
175+65+40=280 pagini

Eu nu stiu care este metoda doamnei invatatoare. Daca s-a lucrat la clasa si cu intrebari de genul "Cate pagini reprezinta 7 sau 3 segmente?" pentru copilul meu doamna nu era asa stricta, important era desenul si rationamentul.