Tot metoda figurativa, dar putin "altfel"

Problemele care se rezolva prin metoda figurativa/ figurarea datelor pot fi de mai multe tipuri dupa cum am mai spus si in postarile anterioare. Unele le-am descris in "Metoda figurativa - Metoda grafica - Metoda segmentelor - Tipuri de probleme rezolvate" - celebrele probleme cu segmente, altele in Probleme de matematica cu capete si picioare, iar o alta categorie pentru care nu am gasit nici un nume am tratat-o in prima mea postare pe acest blog "Probleme de matematica care se rezolva prin figurarea datelor".


De curand, un cititor mi-a scris ca i se pare interesant rationamentul prin care rezolv ultima categorie de probleme, prin figurarea datelor, dar nu-l intelege. Acesta este motivul pentru care m-am gandit sa reiau subiectul.

Aceasta postare va cuprinde reexplicarea rationamentului pe un exemplu foarte simplu (cred ca exemplul anterior era cam complicat, dar merita pastrat) si totodata metoda mea de a compune probleme de acest tip. (In culegerea mea erau foarte putine exemple, de aceea pentru mine este important sa pot crea diferite exemple, de cate ori am nevoie, fara sa mai pierd ore intregi cautand.)

Generalitati

In primul rand trebuie sa precizez ca problemele de acest tip au un tipar:

• doua necunoscute A si B (exemplu: flori si vaze, copii si masinute, fete si baieti  etc.);
• necunoscutele sunt grupate in doua moduri, formand in fiecare caz cate un sir, dar numarul lor ramane acelasi, chiar daca nu-l cunoastem;
• cerinta este aflarea fie a numarului de necunoscute de tipul A sau B, fie amandoua.

Problema rezolvata si explicatii

O gospodina cumpara flori din piata, iar cand ajunge acasa se gandeste cum sa le aseze in vaze. Daca pune cate 3 flori in fiecare vaza, atunci raman 3 flori fara vaza, iar daca pune cate 5 flori in vaza atunci ramane o vaza fara flori. Cate flori a cumparat gospodina si cate vaze are ea?

  

Spuneam si in postarea anterioara ca se pot face diferite rationamente, dar ideea mea este un rationament care se aplica tuturor problemelor de acest tip.

Modul de rezolvare: corespondenta elementelor si completarea celor doua siruri simultan pentru a pastra numarul necunoscuntelor constant pana la indeplinirea cerintelor problemei.

Pasul 1 - figurarea datelor problemei

Pentru aceasta pornesc de la datele referitoare la primul sir (3 flori in vaza) si le figurez pe primele 2-3 vaze cu flori, apoi pun puncte de suspensie deoarece nu stiu numarul (foarte multe puncte pentru ca voi completa desenul ulterior) iar la capat pun elementele ramase (aici cele trei flori).

apoi, mai jos, adaug sirul al doilea (5 flori in vaza) + puncte de suspensie + o vaza libera la capat.

Pasul 2 - corespondenta intre elementele deja desenate

Fac corespondenta elementelor deja desenate, pentru a arata ca o floare din primul sir este aceeasi si in sirul al doilea, dar nu uit si de vaze.

Vreau sa fac o precizare: mi-am invatat copilul ca intotdeauna sa porneasca cu elementele cele mai numeroase ramase libere - aici cele 3 flori de sus din dreapta. Motivul este acela ca in pasul care urmareste completarea sirului ar putea uita de elementele din dreapta.

Desenul de mai sus explica la ce m-am referit prin corespondenta, dar eu cand lucrez doar subliniez sau incercuiesc un element pe sirul de sus si apoi tai unul corespondent pe cel de jos, iar desenul meu arata cam asa

Dupa ce am facut corespondenta elementelor deja desenate, observ ca am jos o floare si o vaza fara corespondent in sirul de sus, de aceea am nevoie sa completez desenul cu noi elemente.


Pasul 3 - completarea simultana a celor doua siruri pastrand numarul constant pana la indeplinirea cerintelor problemei

(Poate aici nu am fost suficient de clara in postarea anterioare.) Pentru a completa simultan sirul adaug o grupare in primul sir (adica nu doar o floare ci trei + vaza) iar apoi le desenez si jos si le tai pentru a pastra corespondenta.

Deci am adaugat pe sirul de sus o vaza cu trei flori si jos o vaza cu doua flori deoarece mai aveam una netaiata din vaza 2 si le-am incercuit pe cele de sus si taiat pe cele de jos corespondente, inclusiv vaza.

Observ ca acum mi-a ramas in sirul 2 o vaza fara corespondent si vaza 3 nu respecta cerintele problemei adica nu are 5 flori. Continui completarea sirului cu inca o grupare sus.

Deci am mai pus sus o vaza cu trei flori, iar jos am adaugat 3 flori in vaza 3 descompletata. Vaza de sus am asociat-o cu vaza fara flori de jos si am observat ca acum cerintele problemei sunt respectate (vaze cu cate 3 flori si trei flori fara vaza, sus     si     vaze cu cinci flori jos si o vaza fara flori, jos) si am acelasi numar de flori/ vaze si sus si jos. Concluzia mea - problema este rezolvata si voi numara cate flori si cate vaze am pe un sir.

Pasul 4 - numararea

Ma uit pe sirul de sus 4 vaze 3 x 4 + 3 = 12 + 3 = 15 flori
                                 =                                          =
Ma uit pe sirul de jos 4 vaze                      5 x 3 = 15 flori
(si bineinteles datele problemei sunt respectate)

Raspuns: 4 vaze si 15 flori 

Metoda de compunerea a problemelor de acest tip

La compunerea problemelor de acest tip procedez astfel.

• imi aleg necunoscutele, care pot fi orice lucruri care merg impreuna ex. soricei cu bucati de branza, copii cu creioane, fetite cu papusi, baietei cu masininute, orice face placere copilului;

Exemplu: soricei si bucati de branza

• pun necunoscutele intr-un loc sau  situatie;

Exemplu: Intr-un colt al casei s-au adunat toti soricei si conducatorul lor si au pus toate bucatile de branza furate la un loc. Conducatorul vrea sa le imparta cu dreptate la toti, dar daca ....

• datele problemei le stabilesc de la sfarsit la inceput;

Exemplu:
- stabilesc numarul de soricei - 7
- creez cele doua siruri (punand valori mici 2 sau 3 sau 4 sau 5):

sirul 1 -> pun 4 bucati branza/ soricel - la sase soricei (las unul liber pentru dilema conducatorului :) = 6x4=24 bucati branza
sirul 2 ->  3 bucati branza / soricel. Am stabilit deja ca sunt 7 soricei x 3 = 21 bucati branza, restul bucatilor de branza 24-21=3 raman nerepartizate

• stabilesc cerinta de aflare a celor doua necunoscutelor/ sau a uneia dintre ele.

Exemplu: Cati soricei si cate bucati de branza sunt?

Iata problema mea:

Intr-un colt al casei s-au adunat toti soricei si conducatorul lor si au pus toate bucatile de branza furate la un loc. Conducatorul vrea sa le imparta cu dreptate la toti, dar daca imparte cate 4 bucati de branza la fiecare soricel, un soricel ramane fara branza, daca imparte cate 3 bucati la fiecare soricel atunci ii raman 3 bucati de branza. Cati soricei si cate bucati de branza sunt?

Pentru cei care gasesc, ca si mine, acest tip de probleme foarte interesant, iata un exemplu mai dificil pentru copil .... sau pentru parintele lui:

La un magazin se vand primului cumparator 2 sticle de apa, pentru a epuiza stocul, restul cumparatorilor, la doua sticle de apa cumparate, primesc inca doua gratuit si astfel nu mai ramane nicio sticla. Conducatorul magazinului se felicita pentru ideea care i-a venit deoarece daca ar fi oferit doar o sticla la fiecare doua sticle de apa cumparate atunci i-ar fi ramas 9 sticle nevandute. 

Cati cumparatori au fost? 

Mai puteti citi si:

Cum sa rezolvam algebric?