Metoda figurativa - Metoda grafica - Metoda segmentelor - Tipuri de probleme rezolvate

Metoda figurativa (sau metoda grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor, care face parte din programa scolara a claselor a a III-a si a IV-a. O puteti intalni si mai devreme, in culegeri sau la unele concursuri scolare.

Aceasta metoda presupune rezolvarea unei probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite ale forme grafice.


Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor.

Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric:

Exemplu 1:
Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

Var. 1 - metoda grafica

Figurarea datelor - pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel:

Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti)

pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani,

varsta mamei o putem calcula in doua moduri:
fie 35-5=30 ani

fie 6 parti x 5 = 30 ani



Var. 2 - algebrica

Notam cu x varsta Irinei,

x + 6x = 35
7x = 35
x = 35:7
x=5 ani (Irina),

35-5=30 (mama)

In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” copiii, nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric ... asa cum ne place noua parintilor.


Tipuri de probleme

In cadrul acestei metode grafice sunt o multime de tipuri de probleme, iar o parte dintre ele voi incerca sa le prezint mai jos, rezolvate.

1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat?

- desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel:

aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre?

80-20 = 60 (timbre)

apoi cat reprezinta o parte? (sau Cate timbre are Sorin?)

60:2 = 30 (timbre Sorin)

30+20 = 50 (timbre Andrei)

Verificare: 30+50=80

Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor.

O explicatie animata si pe gustul copiilor gasiti aici.


Varianta mai complicata

3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea?

In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie n un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1)

Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402:

(402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1)
133 + 1 = 134 (numarul 2)
133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3)

V: 133+134+135 = 402

* Rezolvarea algebrica pentru acest tip de problema o gasiti aici

2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc.

Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri:

A) figurand exact datele problemei

(20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete)
15-10 = 5 (numarul de baieti)

V: 15+5=20

B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam:

(20-10) : 2 = 10:2 = 5  (1 parte = numarul de baieti)
5+10 = 15 (numarul de fete)

Verificare: 5+15=20



3)  Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

- vezi rezolvarea de mai sus


Varianta
Suma a doua numere este 35, iar catul lor este 6. Aflati numerele.

- daca catul este 6 inseamna ca unul dintre numere este de sase ori mai mare decat celalalt, deci este aceeasi rezolvare ca la problema cu mama si Irina.


4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte?

(puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente)

2parti = 20
1p = 20 : 2
1p = 10 (numarul de rate)
10 x 3 = 30 (numarul de gaini)

V: 30-10=20


Varianta
Diferenta a doua numere este 20, iar catul 3. Aflati numerele. 

rezolvarea este aceeasi ca in cazul problemei cu rate si gaini.


Varianta mai complicata (o combinatie a variantelor de mai sus)

La o gradinita s-au adus 138 de cutii: cutii cu unt, cutii cu lapte de trei ori multe, iar cutii cu iaurt cu 2 mai putine decat cele de lapte. Cate cutii de fiecare fel s-au primit?

(138 + 2) : 7 = 140 : 7 = 20 (1parte = cutii cu unt)
20 x 3 = 60 (cutii cu lapte)
60 - 2 = 58 (cutii cu iaurt)

V: 20+60+58=138



5) O ciocolata costa cat sase paini, iar o ciocolata si 4 paini costa 10 lei. Cat costa o paine, dar o ciocolata?

10:10 = 1 (1parte = 1leu = pretul painii)
6 x 1 = 6 (pretul ciocolatei)

V: 4x1+6=10


6) Daca dintr-un cont bancar se scot 50 de lei si se pun in alt cont, atunci in primul cont vom avea de doua ori mai multi bani decat in al doilea cont. Cati bani se afla in ficare cont daca suma totala a banilor din cele doua conturi este de 300 lei.

Pentru a usura rezolvarea eu scriu datele problemei:

C1 + C2 = 300

(C1-50) : 2 = C2 +50

Putem desena pornind de la contul 1 - trasand o dreapta pe care vom pune un segment la dreapta reprezentand -50, apoi restul dreptei o impartim in doua segmente egale. Apoi, desenam o dreapta egala cu primul segment desenat pentru C1, stergem din ea o parte egala cu segmentul -50, pe care o vom redesena punctat. Desenul meu a iesit asa:

Se poate desena si pornind de la contul 2, pe care il vom figura din doua parti un normala si una punctata, apoi desenam contul 1 care este format dintr-un segment egal cu contul 2 plus inca un segment egal cu primul plus al treilea segment egal cu segmentul punctat din contul 2.


Dupa desen sau mai bine zis privind la el, observam ca avem o parte care se muta de sus jos, practic nu afecteaza cu nimic suma totala de bani, dar mutarea permite crearea a 3 parti egale cu 300.

3p=300

1p = 300 : 3 = 100

contul 2 - nu este un segment intreg deoarece are o parte punctata, adica care nu exista in realitate de aceea vom scrie

100-50 = 50 (lei - contul 2)

contul 1 = 2 parti + 50, adica

2 x 100 + 50 = 200 + 50 = 250 (lei - contul 2)


V: 250+50=300


7) Afla varsta a trei frati, stiind ca primul este de trei ori mai mic decat al treilea, al treilea este mai mare decat al doilea de doua ori, iar diferenta dintre cel mai mare si mijlociu este de 6 ani.

Datele problemei pentru a putea crea desenul:

(Notam cu F1 fratele cel mai mare, F2 fratele mijlociu si F3 ultimul nascut.)

F1 = 3 x F3

F1 = 2 x F2

F1 - F2 = 6
-------------

F1 = ?, F2 = ?, F3 = ?


Vom incepe desenul cu fratele cel mai mare pe care il vom pozitiona in mijloc, avand in vedere ca vom desena in functie de el ceilalti doi frati: un fragment de trei ori mai mic (fratele cel mai mic) si altul de doua ori mai mic (fratele mijlociu). Eu am ales sa desenez un segment care sa aiba ca dimensiune un numar care se imparte atat cu 3, cat si cu 2, adica 6 cm. Fratele cel mai mic l-am figurat deasupra fratelelui cel mai mare, printr-un segment de 2 cm (6:3), iar fratele mijlociu l-am figurat ultimul, printr-un segment de 3 cm. Desenul meu arata asa:

Din desen se vede usor rezolvarea:

fratele mijlociu =  6 ani (diferenta de varsta este 1parte = 6 ani, care este egala chiar cu varsta fratelui mijlociu)
fratele mare:  6 x 2p = 12 ani
fratele mic: 12 : 3 = 4 ani



8) ”Varsta mamei este de 13 ori mai mare decat varsta fiicei. Peste 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei. Afla care este varsta fiecareia. ” (Problema 76, pag. 42 Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, autori Mariana Mogos, Stefan Pacearca, Editura Aramis - vezi la sfarsit prezentarea)

Datele problemei:

M=13 x F, unde M= mama si F= fiica

M + 6 = 4 x (F+6)
----------------------------------------
M=?    F=?

In acest caz desenul meu este compus din doua desene suprapuse si anume:
1 - M=13 x F
2 - situatia de peste 6 ani, cand M+6=4x(F+6)

Voi incepe cu figurarea a 13 casute pentru mama si o casuta mai jos pentru fiica.

Precizare 1: Folositi intotdeauna coli de matematica pentru realizarea desenelor la metoda figurativa.

Precizare 2: Pentru problemele care au un nivel de dificultate ridicat si in care conteaza proportiile (cum este aceasta problema), creati intai o reprezentare grafica aproximativa, apoi redesenati pentru  a respecta proportiile cerute de problema si a vedea usor rezolvarea.


Ne reintoarcem la desenul nostru care arata astfel:

Pentru a realiza desenul 2 (situatia peste 6 ani) trebuie sa audaugam cate 6 ani adica cate un segment punctat atat la mama cat si la fiica, cam asa:

pentru a vizualiza mai usor rezolvarea, in acest caz, propun mutarea reprezentarii grafice pentru fiica la dreapta, astfel

am adaugat si o dreapta perpendiculara pentru a usura explicatia urmatoare - dupa 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei, deci daca numaram segmentele desenate la mama in stanga dreptei ne va da cifra 12. Cele 12 segmente sunt de fapt de trei ori varsta fiicei peste sase ani (pentru ca 13 segmente + 6 ani sunt de 4 ori vasta fiicei peste 6 ani) , adica o parte va fi formata din 4 segmente, iar desenul final, completat va arata astfel:

Acum se poate observa ca:

1p = 4 segmente = 1segment + 6 ani, de aici deducem ca

3 segmente = 6
1 segment = 6 : 3 = 2 (ani) , aceasta este chiar varsta fiicei
13 x 2 = 26 (ani - varsta mamei)

V: 26 + 6 = 4 (2+6)
           32 = 4 x 8
           32 = 32, adevarat





Alte resurse pe care le-am gasit pe net, dar nu le-am incercat:

• Aproape totul despre metoda figurativa - M. Oanea, D. Oanea, F. Dudau, M. Dudau, R. Stefanica
• Metoda figurativa dupa ”Reteta” - A. Hoparteanu, V. Chifor
• Metoda figurativa de la simplu la complex - C.E. Farcas, E. Ibric
• Matematica. Metoda grafica in rezolvarea problemelor, clasele III-IV - A. Dumitru, V. Dumitru

Pentru a vedea cum putem rezolva o problema de clasa a IV-a prin metoda grafica vs. fractii, cititi articolul Metoda grafica si fractiile!

Iar la final, trebuie sa va marturisesc ca am constatat, nu demult, ca metoda grafica era si in materia de clasa a IV-a de pe vremea noastra, a parintilor, iar daca nu ma credeti, iata aici cuprinsul manualului cu princina (la adresa respectiva gasiti chiar manualul, daca vreti sa il cititi).

Actualizare iunie 2016

Mai multe resurse utile gasiti aici -  Metoda figurativa / Metoda grafica - resurse net

**********************

*****

P.S. - am introdus aceasta completare pentru a raspunde unui cititor deoarece acest tip de problema este unul complicat si nu se regaseste in mod clar in exemplele prezentare mai sus.

Textul problemei preluat din comentariu anonim 2 iunie 2014 "Afla doua numere naturale, stiind ca impartindu-le obtinem catul 9 si restul 176. Daca primul numar ar fi micsorat cu 1801 si al doilea cu 175, atunci catul ar fi 8."
Datele problemei se prezinta astfel:
a:b=9 r 176
(a-1801): (b-175)=8

Desenul meu:


cu albastru e primul set de date, iar partea cu verde se suprapune peste primul desen pentru a arata ce valori cunoastem  si cum putem afla o parte

1801 - 175x8 - 176 =1p
225 = 1p (adica b)
225x9+176=2201 (a)

Verificare:
2201:225=9 r(176)
(2201-1801) : (225-175)=400:50=8

*****

P.P.S - iata un nou exemplu care merita sa stea in galeria tipurilor de probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica, in ciclul primar. Aceasta problema se rezolva (cel mai simplu) prin sistem de ecuatii cu doua necunoscute, in clasele gimnaziale, de aceea mi s-a parut foarte interesant sa aplic metoda grafica specifica clasei a IV-a.

Textul problemei preluat din comentariul din 19 august 2014 - "Un bazin se umple cu apa prin doua robinete. Daca primul este deschis 6 ore si al doilea 4 ore, in bazin curg 216 hl apa. Daca primul robinet este deschis 3 ore si al doilea 9 ore, in bazin s-ar aduna 276 hl apa. Ce debit pe ora are fiecare din cele doua robinete?"

Algebric, datele problemei se prezinta astfel:
6x + 4y = 216 hl
3x + 9y = 276 hl

Primul meu desen contine reprezentarea datelor problemei:

Prin segmentul albastru am reprezentat cantitatea de apa care curge din robinetul 1 intr-o ora si prin segmentul negru, putin mai mare, cantitatea de apa care curge din robinetul 2 intr-o ora.

Din comparatia celor doua desene observ ca rezolvarea s-ar putea face prin diferenta, dar atunci imi raman 3 segmente albastre sus si 5 negre jos, deci un fel de mere cu pere. Pentru a putea urma acest gen de rezolvare  (diferenta) trebuie sa gasesc o varianta de a ramane cu segmente doar de un tip (o singura necunoscuta). Observ ca segmentele albastre de jos sunt jumatate din cele de sus deci daca dublez intreg desenul de jos voi putea cunoaste valoare unor parti din segmente (6x+4y) si vor ramane doar segmente negre ca diferenta.

Desenul al doilea se transforma astfel:

Din acest punct se transforma intr-o problema simpla, din care se observa ca 14 segmente negre (parti) = 552-216 = 336 => ca 1 segment negru = 24, deci din al doilea robinet curg 24hl intr-o ora.

6 segmente albastre = 216 - 4x24 = 216 - 96 = 120  => 1 segment albastru = 120 : 6 = 20, deci din primul robinet curg 20hl intr-o ora.

Verificare:
6x + 4y = 216hl,
6x20 + 4x24 = 120 + 96  = 216           Adevarat
3x + 9y = 276,
3x20 + 9x24 = 60 + 216 = 276            Adevarat

*****

P.P.P.S - iata un nou exemplu care se poate rezolva prin metoda grafica, dar figurarea datelor presupune un alt tip de desen decat cel clasic cu segmente. 

Textul problemei preluat din comentariul din 3 octombrie 2014 - "Daca marim latura unui patrat cu 2m, aria lui se mareste cu 36m patrati. Care este perimetrul initial al patratului?"

Desenul de aceasta data este un patrat cu latura L, iar deasupra acestuia am desenat un alt patrat cu latura L+2 .

Din textul problemei stiu ca diferenta intre prima arie (L patrat) si cea de-a doua arie ( (L+2) patrat) este de 36mp.

Din desen se abserva ca aceasta diferenta (36mp) este o suma de trei arii (cele doua dreptunghiuri albastru deschis si patratul albastru inchis).
- aria unui dreptunghi albastru deschis = 2xL sau 2L
- aria patratului este = 2x2 = 4

deci:
36 = 2L + 4 + 2L
36 = 4L + 4
4L = 36-4
4L = 32 

L = 32:4
L = 8 (latura - lungime initiala)

(Perimetrul = 8+8+8+8 = 4x8 = 32)

Problema se putea finaliza si fara aflarea unei laturi vezi partea scrisa cu rosu mai sus, dar eu as merge pana la aflarea unei laturi pentru a putea verifica rezultatul.

Verificare:
A initiala = 8m x 8m=64mp
A dupa marire = (8m+2m) x  (8m+2m) = 10x10 = 100mp
100mp - 64mp = 36mp                                                                        (adevarat)