Probleme de matematica care se rezolva prin figurarea datelor

Metoda figurativa se studiaza, pe larg, in clasele a III-a si a IV-a si este o adevarata "bataie de cap".

Problemele care se rezolva cu ajutorul metodei figurative, adica prin figurarea datelor, pot fi si ele impartite in mai multe subcategorii (pe cele pe care le-am denumit eu, le gasiti intre ghilimele):

• "clasice" - se intalnesc in manuale si se rezolva de obicei cu ajutorul segmentelor  (detalii in "Metoda figurativa - Metoda grafica - Metoda segmentelor - Tipuri de probleme rezolvate").  Probleme de acest fel se pot intalni in clasele mai mici, la concursurile scolare, la nivelul de performanta.

• probleme cu capete si picioare - se intalnesc in culegeri si la concursuri scolare si se rezolva cu ajutorul desenelor - animale sau doar capete si picioare ale acestora (detalii in"Probleme de matematica cu capete si picioare")

• "altfel" de probleme - se intalnesc in culegeri si la concursuri scolare. Pe acestea le voi exemplifica mai jos.

Aceasta subcategorie de probleme, se rezolva in cartile de profil, printr-o combinatie: reprezentare grafica a datelor problemelor + deductie.

Pentru exemplificare mod de calcul si tipuri de astfel de probleme vedeti aceasta culegere (pag.48 - Matematica Cls 4 Culegere De Exercitii Si Probleme - Mariana Mogos, Stefan Pacearca.)

Tot in acest gen a fost rezolvata si la clasa de catre d-na invatatoare. 

La mine, a aparut urmatoarea situatie, explicam copilului o problema, o intelegea, o putea rezolva si cand treceam la o alta problema, unde zona de deductie / rationament se schimba, REAPAREAU  dificultati in rezolvare.

Am incercat sa gasesc un model de rezolvare, am luat trei probleme rezolvate si am incercat sa gasesc acelasi tip de rationament, tot studiind si incercand mai multe variante ca sa-mi fac fiica sa inteleaga mai bine, am descoperit (nu stiu daca voi ati gasit-o in alta parte, eu nu am gasit-o pana acum in nici o parte, dar nu pot sa cred ca nimeni nu s-a gandit la aceasta) o varianta, exclusiv grafica, fara acea parte de deductie, care difera de la problema la problema si incurca ”bietul copil”. 

Deci, ceea ce vreau sa va arat este aceasta modalitate de rezolvare a problemelor din categoria "altfel", doar pe baza reprezentarii grafice.

Problema rezolvata 1

”Mai multi copii participa la o intrecere de masinute. In cazul in care se urca cate 4 intr-o masinuta, ramane o masinuta libera, iar daca se urca cate 3 intr-o masinuta, raman 3 copii fara loc. Cati copii si cate masinute sunt?”

Rezolvare

Pasul 1

Vom reprezenta figurativ conditia 1 – cate 4 copii intr-o masinuta – ramane o masinuta libera.

- pe desen, numarul de trei masinute pline cu cate 4 copii este aleatoriu, puteam pune doua sau patru, pentru ca nu se cunoaste numarul lor exact.  Acesta este motivul pentru care am pus si punctele.   (Numerotarea masinutelor am facut-o pentru a usura explicatia ulterioara.) Masinuta care a ramas libera am notat-o masinuta 0.

Pasul 2

Pornind de la desenul de mai sus vom figura, in paralel si treptat, conditia 2 – cate 3 copii intr-o masinuta – raman 3 copii fara masinuta.

- Vom lua masinuta numarul 0 deoarece ea nu avea nici un copil si o vom folosi ca baza de plecare pentru desenul al doilea care va ilustra respectarea conditiei 2. O vom umple cu trei copii din masinuta 1.

- Vom continua coborand masinuta 1 cu copilul ramas si vom mai lua doi copii din masinuta 2.

- Vom continua coborand si masinutele 2 si 3 si copiii din acestea.

- Dupa cum se poate observa am coborat toti copiii si toate masinutele din desen (toate sunt colorate), dar conditia 2 nu este inca indeplinita. Daca ne intoarcem la Pasul 1 vedem ca restul masinutelor cu patru copii nu au fost desenate pentru ca nu am stiut cate sunt. De aceea, pentru a putea continua rationamentul, fara a avea teama ca influentam diferit cele doua conditii,  vom adauga intai o formatie completa (o masinuta cu patru copii) in partea de sus  a desenului, ” vom micsora punctele”. Apoi vom continua cu coborarea ei in partea de jos a desenului, la fel ca pana acum.

- Ne-a ramas 1 copil, iar conditia 2 nu este indeplinita, mai adaugam o masinuta in partea de sus  a desenului si apoi o coboram in partea de jos a desenului.

- Ne-au ramas 2 copii, iar conditia 2 nu este indeplinita, mai adaugam o masinuta in in partea de sus  a desenului si apoi o coboram in in partea de jos a desenului.

- Ne-au mai ramas 3 copii, acum conditia 2 este indeplinita cate 3 copii in fiecare masinuta si trei copii fara masinuta, coboram cei trei copii fara masinuta, iar punctele ramase in ambele desene nu mai au nici o valoare pentru ca am indeplinit ambele conditii simultan si am rezolvat problema. Desenul nostru este finalizat si putem numara masinutele si copii (vezi pasul 3).

Pasul 3

Numaram masinutele si copiii pentru a putea da raspunsul:

Desenul 1:  7 masinute  si 6 x 4 = 24 copii

Desenul 2:  7 masinute si 7x3 +3 = 24 copii

Raspunsul: 7 masinute si 24 copii

Verificare: pentru 7 masinute si 24 copii se indeplineste conditia 1 - 6 masinute a cate 4 copii si o masinuta libera si totodata conditia 2 - 7 masinute a cate 3 copii si trei copii fara masinuta.

Problema rezolvata nr. 2

In parc copiii fac echipe de cate 3 fete si 1 baiat pentru a se juca cu mingea. Trei fetite se supara si pleaca, iar copiii hotarasc sa se regrupeze in echipe de cate 5 fete si 2 baieti. Cati copii au fost la inceput in parc?

Pasul 1 - figuram datele problemei ( Explicatiile pentru fiecare pas se gasesc in Partea I ):     

            

Pasul 2 - adaugam si conditia a doua:

 - completam desenul 1 pana la indeplinirea, in acelasi timp, a celor doua conditii:

Pasul 3 - finalizam desenul si numaram:

Desen 1: 18 fete si 6 baieti

Desen 2: 15 fete (18-3) si 6 baieti

Raspuns: in parc au fost la inceput 18 fete si  6 baieti.  

Comentarii:

• Atunci cand se rezolva pe o foaie, este suficient un singur desen care se completeaza pe parcurs punand figuri si in prima si in a doua parte a desenului pentru a respecta datele problemei.
• Aceasta metoda are un punct slab si anume necesitatea de a desena destul de mult pana ajungem la rezultat, dar are si un punct forte, faptul ca o putem utiliza pe orice problema de acest tip.

Alte surse pentru un parinte bine informat:

- pe site-ul ”Viitori olimpici” exista doua materiale foarte bune ”Probleme care se rezolva prin metoda figurativa” - Institutor Vladu Mariana si ”Metoda figurativa” - Profesor Stefan Smarandoiu. Din pacate conditiile de acces pe acest site sunt restrictionate de existenta unui cont individual. 

- De curand am gasit si o varianta algebrica de rezolvare a acestor tipuri de probleme,pe care o puteti citi pe site-ul recreatiimatematice.ro in articolul: Sugestii metodice privind introducerea calculului bazat pe metoda literală (algebrică) – Geta DRAGNEA şi Fănică DRAGNEA (arhiva / arhiva structurata / Matematica in clasele primare).