Zilele acestea am "luptat" iar cu sirurile, asa ca m-am gandit sa va ofer o mica continuare axata pe doua directii:
1. Cum aflam termenul ”n” al sirului?
(Exemplu: Avem sirul: 3, 7, 11, 15, 19, ... Care este termenul 100?)
2. Cum putem aduna un sir de numere care nu sunt consecutive?
(Exemplu: 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + 51 = ?)
Aceste exercitii sunt potrivite pentru clasa IV-a zona de performanta / concursuri scolare, dar va veti lovi de ele si la inceputul clasei a V-a as zice in zona mediu (eu numesc zona mediu materia facuta la clasa conform manualului) spre performanta (= cerinte specifice concursurilor scolare care depasesc materia predata la clasa).
1. Cum aflam termenul ”n” al sirului?
3, 7, 11, 15, 19, ... Care este termenul 100?
Cheia acestui tip de exercitii este descoperirea relatiei dintre termeni si transformarea ei intr-o formula general valabila.
Adica:
Adica:
3, 7, 11, 15, 19, ...
T1 = 3 T2 = 3 + 4 T3 = 3 + 4+4 T4 = 3 + 4+4+4 T5 = 3 + 4+4+4+4
dupa ce am scris fiecare termen in functie de primul termen si de ”pas” (diferenta, constanta, dintre doi termeni ai sirului) rescriem astfel:
T1 = 3 T2 = 3 + 4 T3 = 3 + 4x2 T4 = 3 + 4x3 T5 = 3 + 4x4
Acum se observa ca un termen n al sirului va fi egal cu termenul 1 la care se adauga ”pasul” inmultit cu predecesorul sau (n-1), adica:
Tn = 3 + 4 x (n-1)
Daca am aflat formula general valabila pentru orice termen al acestui sir putem afla si termenul 100 fara probleme
T100 = 3 + 4 x (100-1)
T100 = 3 + 4 x 99
T100 = 399
O varianta a exercitiului de mai sus, dar care se rezolva cu aceeasi ”cheie” este si intrebarea:
Numarul 51 face parte din sir?
a) Ne bazam pe relatia dintre termenii sirului
Tn = 3 + 4 x (n-1)
daca numarul 51 ar face parte din sir atunci el ar fi un Tn = 51, (Atentie! ”n” nu este egal cu 51, doar Tn = 51, vezi mai sus T100 = 399, la noi numarul 51 este similarul lui 399)
51 = 3 + 4 x (n-1)
51 - 3 = 4 x (n-1)
48 = 4 x (n-1)
(n-1) = 48 : 4, putem imparti fara rest si atunci numarul 51, face parte din sir
(iar el va fi termenul T13 deoarece n-1 = 12 => n = 13)
verificare:
T13 = 3 + 4 x 12
T13 = 3 + 48
T13 = 51
b) Pentru usurarea rezolvarii putem scrie relatia dintre termeni, in acest al doilea caz, doar asa:
51 = 3 + 4 x Z , daca gasim un z, numar natural, atunci raspunsul este pozitiv, daca nu, atunci numarul nu face parte din sir.
Rezolvare:
Z = (51-3) : 4
Z = 12, deci 51 face parte din sir
2. Cum putem aduna un sir de numere care nu sunt consecutive?
3 + 7 + 11 + 15 + 19 + ... + 51 = ?
(Acesta este un exemplu pentru sirurile in care diferenta dintre termeni (”pasul”) este constanta.)
Si la acest exemplu ”cheia” este tot relatia dintre termeni.
Rescriem sirul (Atentie! e bine sa stim al catelea termen este ultimul pentru a-l scrie in functie de termenul 1 si ”pasul” 4, adica 51 = 3 + 4 x Z , 51= 3 + 4 x 12) astfel :
3 + 3+4 + 3+4x2 + 3+4x3 + 3+4x4 + ... + 3+4x12 =
grupam termenii convenabil cei cu 3 intr-o parte, iar cei cu 4 in cealalta parte:
3 + 3 + 3 + 3 + 3 + ... + 3 + 4 + 4x2 + 4x3 + 4 x 4 + ... + 4x12 =
stim ca sunt 13 termeni in sir deci, 3 + 3 + ... +3 = 3x13
3x13 + 4 + 4x2 + 4x3 + ... 4x12 =
dam factor comun pe 4 (”pasul”)
39 + 4 x (1 + 2 + 3 + ... + 12) =
(pentru a afla detalii despre cum se face suma sirului din paranteza, cititi Cum adunam un sir de numere naturale consecutive in clasa a IV-a?
39 + 4 x [(12+1)(12:2)) =
= 39 + 4 x (13x6) =
= 39 + 4 x 78 =
= 39 + 312
= 351
Dupa cum observati, rezolvarile nu sunt foarte grele daca avem un exemplu, iar pentru performanta trebuie sa cautam culegeri in care avem explicatii teoretice, exercitii rezolvate si exercitii cu grad de dificultate diferit.
Daca aveti nevoie de lucruri si mai complicate, cum ar fi termenul "n" (Tn) dintr-un sir in care diferenta dintre termeni nu este o constanta, atunci incercati aici.
Actualizare 10.12.2013
39 de comentarii:
Imi place site-ul , puteti insasa imi explicati cum adunam un sir de fractii ?
Dati-mi un exemplu concret altfel sunt prea multe de spus la acest subiect. Poate va este util acest filmulet (http://educatie.inmures.ro/lectii-de-matematica/calculul-unor-sume-de-fractii.html).
Va rog 9+99+999+...+999.999 de 1998 de ori 9
Ideea mea este urmatoarea:
factor comun 9 => 9(1+11+111+1111+....+1111...1111_de 1998 ori)
1+11+111+...+1111 - pentru aceasta suma exista o formula calculata prin transformarea sirului intr-unul in baza 10 (vezi aici detalii http://www.math10.com/forum/viewtopic.php?f=42&t=498#p1097)
deci 1+11+111+1111+111_(de 1998 ori)=1/81(10^1999-9x1998-10),
deci revenind la suma initiala,
9x1/81(10^1999-9x1998-10)=
=1/9(10^1999-9x1998-10)
Sper ca am fost de ajutor desi cam depaseste "zona mea de confort" :)
o cega si un nisetru pot trai,la un loc,cu 33 de ani mai putin decat o zecime dintr-un mileniu.cat pot trai 3 cegi si 5 nisetri la un loc,stiind ca o cega si 9 nisetri pot trai,la un loc,cu 73 de ani mai putin decat o jumatate de mileniu?
Trebuie se scrii asa: 1000:10=100(ani poate trai o cega)
100-33-9+3=59(ani poate trai un nisetru)
Sper ca te-am ajutat!
Pai daca ai gen 2pe 3 faci la fel cu cele de sus si cu cele de jos ( totul separat) si apo aduni si vezi ce iti iese , sper ca te-am ajutat!
Din pacate , te contarzic Loredana ! Nu e bine ce spui tu aici , trebuie sa faci asa:
mai intai aduni 9+99+999 + 999x999 veti cat iti da si apoi faci a(9+99+999)+b+c(999x999)
si e clar ca trebuie sa iti dea 1998x9 , sper ca te-am ajutat!
Sa se determine al zecelea termen al sirului 1,7,13,19
10-1+100-1+1000-1++++++++=
=111111111111.......1de 1999de ori -1998=
=..... E mai simplu☺
1+1x2+1x2x3+1x2x3x4+........+1x2x3x4......x50=
Care este ultima cifra a adunarii.(cifra unitatilor)
Pasul (diferenta dintre 2 termeni consecutivi) este de 6, deci se poate gasi relativ usor, fie calculand din aproape in aproape, fie 1+6x9=55.
Pana la 1+1x2+1x2x3+1x2x3x4, se calculeaza 1+2+6+24=33, deci 3 e ultima cifra, motivul este acela ca de la 1x2x3x4x5 mai departe ultima cifra este 0 deoarece in fiecare grup apare 5*2=10, iar orice numar inmultit cu 10 are ultima cifra 0.
Aflati cel mai mare numar de 3 cifre care este egal cu suma 1+2+3+...+n
Va multumesc.
990=1+2+3+...+44
o zecime dintr-un mileniu inseamna:
1000 : 10 = 100 ani
daca stim ca o cega (notam cu c) si un nisetru (notam cu n) pot trai la un loc, cu 33 de ani mai putin decat o zecime dintr-un mileniu, atunci avem:
c + n = 100 - 33 = 67 (ani traiesc impreuna o cega si un nisteru)
dar mai stim ca o cega si 9 nisetri pot trai la un loc, cu 73 de ani mai putin decat o jumatate de mileniu, adica:
1000 : 2 = 500 ani (jumatate de mileniu)
c + 9n = 500 - 73 = 427 ani (traiesc o cega si noua nisetri)
din relatia: c + n = 67, rezulta ca c = 67 - n
inlocuind in relatia: c + 9n = 427, avem :
67 - n + 9n = 427
8n = 427 - 67 = 360
n = 360 : 8
n = 45 ani traieste un nisetru
inlocuind n in relatia: c = 67 - n, avem:
c = 67 - 45
c = 22 ani traieste o cega
Stiind acum cat traieste o cega (22 de ani) si cat traieste un nisetru (45 de ani), putem afla cu usurinta cat pot trai 3 cegi si 5 nisetri la un loc:
3c + 5n = 3x22 + 5x45 = 66 + 225 = 291 ani
Aflati care este al 2015 numar din sirului a,b,c,d,e,f,a,b,c,d,e,f
Cate numere sunt in sirul: 7,10,13...37?
1 + 1/2 +1/3 +1/4+ ... 1/100 = ?
T1=7
T2=7+3
T3=7+3+3=7+3*2
........
Tn=7+3*(n-1)
37-7=3*(n-1)
n-1=30:3
n=11
Sunt 11 termeni
S=9+99+999+......+99..99(de 1998 cifre de 9)
adunam 1999 iar la sfarsit scadem 1989
S=9+99+999+.......+99..99(1998 cifre de 9)+1999
Luati din 1999 cate unitate si adunati pe rand cu restul numerelor
Avand 1989 de termeni din 1999 nu va mai ramana decat o unitate
S=1+(9+1)+(99+1)+...+(9999..(1998 cifre de 9)+1)+1
S=1+10+100+...+10000(de 1998 cifre de 0)
S=111111...111(1 se repeta de 1999 de ori)
Acum vom scadea 1999
S=111...1111-1999=1111...11109112
Cifra 1 se repeta de 1999-6=1993 cifre de 1
Observam ca numerele se repata din 6 in 6
2015:6=335 rest 5
2015=6*335+5
Al 2015 numar este e
Ma scuzati dar am de aflat al 13lea nr din sirul de numere 1,1 2 3 5 8 13 21
T1=1
T2=T1=1
T3=T2+T1=1+1=2
T4=T3+T2=2+1=3
T5=T4+T3=3+2=5
T6=T5+T4=5+3=8
T7=T6+T5=8+5=13
T8=T7+T6=8+13=21
T9=T8+T7=21+13=34
T10=T9+T8=34+21=55
T11=T10+T9=89
T12=T11+T10=144
T13=T12+T11=233
fie sirul de numere 1 7 2 14 3 21 aflati term de pe locul 2014
Nu stiu ce iese.
Buna. Pentru sirul 3,4,6,9,13...trebuie sa aflu al 2013.lea numar. Nu reusrsc sa aflu formula termenului general
t1 = 3
t2 = 3+1 = 4
t3 = 4+2 = 6 sau t3=3+ 1+2
t4 = 6+3 = 9 sau t4=3+ 1+2+3
t5 = 9+4 = 13 sau t5=3+ 1+2+3+4
rezulta
tn=3+ 1+2+3+ ... + (n-1)
In continuare se afla cu suma lui Gauss - 1+2+3+....
Numai bine!
7056
Sa se determine al cincisprezecelea termen al sitului -5;-2;1;4;...
9x(123456790123456790........12345678)= 1de 1997 ori 02
Se repeta 123456790 de 199 ori
Se da sirul de numere 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 31, 33.....
a) Sa se determine suma dintre cel mai mic termen al sirului scris cu 3 cifre si cel mai mare termen al sirului scris cu 4 cifre distincte.
b) Sa se determine numarul termenilor sirului care au cel mult 5 cifre.
Se da sirul de numere 1, 3, 7, 9, 11, 13, 17, 19, 31, 33.....
a) Sa se determine suma dintre cel mai mic termen al sirului scris cu 3 cifre si cel mai mare termen al sirului scris cu 4 cifre distincte.
b) Sa se determine numarul termenilor sirului care au cel mult 5 cifre.
În şirul de numere 3, 7, 11, 15, 19, ... se observă o creştere din 4 în 4 a termenilor consecutivi ai şirului. Această observaţie se va exprima astfel: 3, 3+4*1, 3+4*2, 3+4*3, ..., 3+4*(n-1). Pentru că termenii şirului s-ar putea scrie astfel: T1=3+4*0, T2=3+4*1, T3=3+4*2, T4=3+4*3, ..., Tn=3+4*(n-1). Prin înlocuire în formulă, rezultă T100=3+4*(100-1), … Suma primilor n termini ai şirului, s-ar exprima astfel: Sn=T1+T2+T3+…, adică Sn=3+(3+4*1)+(3+4*2)+(3+4*3)+…+(3+4*(n-1)). Prin gruparea convenabilă a termenilor se va obţine Sn=3*n+4*(1+2+3+…+n-1), Suma numerelor consecutive 1+2+3+…+n-1 este “Suma lui Gauss”, deci Sn=3*n+4*(n-1)*n/2; Sn=3*n+2*n*(n-1) =…=n*(2*n+1). Verificare: S1=1*(2*1+1) =3, S2=2*(2*2+1) =10, … S100=100*(2*100+1) =20100, …
În suma 3+813+.....+413,al 4-lea termen este.... si penultimul termen este.. . Cn ma ajută
BA BALLS TACATI FLEANCA
ca iti dau una in gura si ma duc sa iti fut una in gura
ca ti-o fut cum am futato pe mata doggy style
Trimiteți un comentariu
Pe acest blog vor fi afisate doar comentariile care folosesc un limbaj adecvat si au legatura cu subiectele prezentate.