Recomandare


marți, 15 octombrie 2013

Metoda figurativa - Metoda grafica - Metoda segmentelor - Tipuri de probleme rezolvate

Metoda figurativa (sau metoda grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor, care face parte din programa scolara a clasei a IV-a. O puteti intalni si mai devreme, in culegeri sau la unele concursuri scolare.

Aceasta metoda presupune rezolvarea unei probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite ale forme grafice.
Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor.

Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric:

Exemplu 1:
Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

Var. 1 - metoda grafica

Figurarea datelor - pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel:




Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti)

pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani,

varsta mamei o putem calcula in doua moduri:
fie 35-5=30 ani

fie 6 parti x 5 = 30 ani



Var. 2 - algebrica

Notam cu x varsta Irinei,

x + 6x = 35
7x = 35
x = 35:7
x=5 ani (Irina),

35-5=30 (mama)

In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” copiii, nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric ... asa cum ne place noua parintilor.


Tipuri de probleme

In cadrul acestei metode grafice sunt o multime de tipuri de probleme, iar o parte dintre ele voi incerca sa le prezint mai jos, rezolvate.

1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat?

- desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel:




aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre?

80-20 = 60 (timbre)

apoi cat reprezinta o parte? (sau Cate timbre are Sorin?)

60:2 = 30 (timbre Sorin)

30+20 = 50 (timbre Andrei)

Verificare: 30+50=80

Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor.

O explicatie animata si pe gustul copiilor gasiti aici.


Varianta mai complicata

3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea?

In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie n un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1)

Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402:




(402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1)
133 + 1 = 134 (numarul 2)
133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3)

V: 133+134+135 = 402

* Rezolvarea algebrica pentru acest tip de problema o gasiti aici

2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc.

Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri:

A) figurand exact datele problemei




(20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete)
15-10 = 5 (numarul de baieti)

V: 15+5=20

B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam:



(20-10) : 2 = 10:2 = 5  (1 parte = numarul de baieti)
5+10 = 15 (numarul de fete)

Verificare: 5+15=20



3)  Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

- vezi rezolvarea de mai sus


Varianta
Suma a doua numere este 35, iar catul lor este 6. Aflati numerele.

- daca catul este 6 inseamna ca unul dintre numere este de sase ori mai mare decat celalalt, deci este aceeasi rezolvare ca la problema cu mama si Irina.


4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte?



(puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente)

2parti = 20
1p = 20 : 2
1p = 10 (numarul de rate)
10 x 3 = 30 (numarul de gaini)

V: 30-10=20


Varianta
Diferenta a doua numere este 20, iar catul 3. Aflati numerele. 

rezolvarea este aceeasi ca in cazul problemei cu rate si gaini.


Varianta mai complicata (o combinatie a variantelor de mai sus)

La o gradinita s-au adus 138 de cutii: cutii cu unt, cutii cu lapte de trei ori multe, iar cutii cu iaurt cu 2 mai putine decat cele de lapte. Cate cutii de fiecare fel s-au primit?




(138 + 2) : 7 = 140 : 7 = 20 (1parte = cutii cu unt)
20 x 3 = 60 (cutii cu lapte)
60 - 2 = 58 (cutii cu iaurt)

V: 20+60+58=138



5) O ciocolata costa cat sase paini, iar o ciocolata si 4 paini costa 10 lei. Cat costa o paine, dar o ciocolata?




10:10 = 1 (1parte = 1leu = pretul painii)
6 x 1 = 6 (pretul ciocolatei)

V: 4x1+6=10


6) Daca dintr-un cont bancar se scot 50 de lei si se pun in alt cont, atunci in primul cont vom avea de doua ori mai multi bani decat in al doilea cont. Cati bani se afla in ficare cont daca suma totala a banilor din cele doua conturi este de 300 lei.

Pentru a usura rezolvarea eu scriu datele problemei:

C1 + C2 = 300

(C1-50) : 2 = C2 +50

Putem desena pornind de la contul 1 - trasand o dreapta pe care vom pune un segment la dreapta reprezentand -50, apoi restul dreptei o impartim in doua segmente egale. Apoi, desenam o dreapta egala cu primul segment desenat pentru C1, stergem din ea o parte egala cu segmentul -50, pe care o vom redesena punctat. Desenul meu a iesit asa:




Se poate desena si pornind de la contul 2, pe care il vom figura din doua parti un normala si una punctata, apoi desenam contul 1 care este format dintr-un segment egal cu contul 2 plus inca un segment egal cu primul plus al treilea segment egal cu segmentul punctat din contul 2.


Dupa desen sau mai bine zis privind la el, observam ca avem o parte care se muta de sus jos, practic nu afecteaza cu nimic suma totala de bani, dar mutarea permite crearea a 3 parti egale cu 300.

3p=300

1p = 300 : 3 = 100

contul 2 - nu este un segment intreg deoarece are o parte punctata, adica care nu exista in realitate de aceea vom scrie

100-50 = 50 (lei - contul 2)

contul 1 = 2 parti + 50, adica

2 x 100 + 50 = 200 + 50 = 250 (lei - contul 2)


V: 250+50=300


7) Afla varsta a trei frati, stiind ca primul este de trei ori mai mic decat al treilea, al treilea este mai mare decat al doilea de doua ori, iar diferenta dintre cel mai mare si mijlociu este de 6 ani.

Datele problemei pentru a putea crea desenul:

(Notam cu F1 fratele cel mai mare, F2 fratele mijlociu si F3 ultimul nascut.)

F1 = 3 x F3

F1 = 2 x F2

F1 - F2 = 6
-------------

F1 = ?, F2 = ?, F3 = ?


Vom incepe desenul cu fratele cel mai mare pe care il vom pozitiona in mijloc, avand in vedere ca vom desena in functie de el ceilalti doi frati: un fragment de trei ori mai mic (fratele cel mai mic) si altul de doua ori mai mic (fratele mijlociu). Eu am ales sa desenez un segment care sa aiba ca dimensiune un numar care se imparte atat cu 3, cat si cu 2, adica 6 cm. Fratele cel mai mic l-am figurat deasupra fratelelui cel mai mare, printr-un segment de 2 cm (6:3), iar fratele mijlociu l-am figurat ultimul, printr-un segment de 3 cm. Desenul meu arata asa:




Din desen se vede usor rezolvarea:

fratele mijlociu =  6 ani (diferenta de varsta este 1parte = 6 ani, care este egala chiar cu varsta fratelui mijlociu)
fratele mare:  6 x 2p = 12 ani
fratele mic: 12 : 3 = 4 ani



8) ”Varsta mamei este de 13 ori mai mare decat varsta fiicei. Peste 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei. Afla care este varsta fiecareia. ” (Problema 76, pag. 42 Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, autori Mariana Mogos, Stefan Pacearca, Editura Aramis - vezi la sfarsit prezentarea)

Datele problemei:

M=13 x F, unde M= mama si F= fiica

M + 6 = 4 x (F+6)
----------------------------------------
M=?    F=?

In acest caz desenul meu este compus din doua desene suprapuse si anume:
1 - M=13 x F
2 - situatia de peste 6 ani, cand M+6=4x(F+6)

Voi incepe cu figurarea a 13 casute pentru mama si o casuta mai jos pentru fiica.

Precizare 1: Folositi intotdeauna coli de matematica pentru realizarea desenelor la metoda figurativa.

Precizare 2: Pentru problemele care au un nivel de dificultate ridicat si in care conteaza proportiile (cum este aceasta problema), creati intai o reprezentare grafica aproximativa, apoi redesenati pentru  a respecta proportiile cerute de problema si a vedea usor rezolvarea.


Ne reintoarcem la desenul nostru care arata astfel:



Pentru a realiza desenul 2 (situatia peste 6 ani) trebuie sa audaugam cate 6 ani adica cate un segment punctat atat la mama cat si la fiica, cam asa:





pentru a vizualiza mai usor rezolvarea, in acest caz, propun mutarea reprezentarii grafice pentru fiica la dreapta, astfel


am adaugat si o dreapta perpendiculara pentru a usura explicatia urmatoare - dupa 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei, deci daca numaram segmentele desenate la mama in stanga dreptei ne va da cifra 12. Cele 12 segmente sunt de fapt de trei ori varsta fiicei peste sase ani (pentru ca 13 segmente + 6 ani sunt de 4 ori vasta fiicei peste 6 ani) , adica o parte va fi formata din 4 segmente, iar desenul final, completat va arata astfel:



Acum se poate observa ca:

1p = 4 segmente = 1segment + 6 ani, de aici deducem ca

3 segmente = 6
1 segment = 6 : 3 = 2 (ani) , aceasta este chiar varsta fiicei
13 x 2 = 26 (ani - varsta mamei)

V: 26 + 6 = 4 (2+6)
           32 = 4 x 8
           32 = 32, adevarat



Daca doriti sa exersati astfel de probleme cu cel mic, va recomand calduros aceasta culegere:
(aici poti comanda)


(Pentru a afla cum sa comanzi on-line vezi informatiile de la sfarsitul articolului acesta.Pentru fiecare a existat o prima data cand nu prea stia cum ...)


in ea gasiti toate tipurile de probleme prezentate mai sus (nu cu acelasi text deoarece problemele din acest articol sunt create de mine, exceptie varianta 8).

Culegerea contine peste 100 de probleme cu metoda figurativa (eu in alte culegeri am gasit un numar mult mai mic) si nivelul de dificultate este de la mediu catre performanta. Mai mult, gasiti si alte tipuri de probleme cu figurarea datelor asa cum am prezentat eu in articolul  Probleme de matematica care se rezolva prin figurarea datelor 

Alte resurse pe care le-am gasit pe net, dar nu le-am incercat:
Pentru a vedea cum putem rezolva o problema de clasa a IV-a prin metoda grafica vs. fractii, cititi articolul Metoda grafica si fractiile!

Iar la final, trebuie sa va marturisesc ca am constatat, nu demult, ca metoda grafica era si in materia de clasa a IV-a de pe vremea noastra, a parintilor, iar daca nu ma credeti, iata aici cuprinsul manualului cu princina (la adresa respectiva gasiti chiar manualul, daca vreti sa il cititi).


Actualizare 20.01.2014
Am gasit si un soft educational cu ajutorul caruia copiii pot exersa metoda grafica:

Film de prezentare si detalii gasiti AICI


sursa foto-printscreen


















P.S. - am introdus aceasta completare pentru a raspunde unui cititor deoarece tipul de problema este unul complicat si nu se regaseste in mod clar in exemplele prezentare mai sus.
datele problemei --> comentariu anonim 2 iunie 2014
a:b=9 r 176
(a-1801): (b-175)=8



cu albastru e primul set de date, iar partea cu verde se suprapune peste primul desen pentru a arata ce valori cunoastem  si cum putem afla o parte

1801 - 175x8 - 176 =1p
225 = 1p (adica b)
225x9+176=2201 (a)

Verificare:
2201:225=9 r(176)
(2201-1801) : (225-175)=400:50=8

23 de comentarii:

  1. Noi va multumim in mod deosebit, intru-cat explicatiile de la scoala nu pot ajunge pana la noi! ne-a ajutat mai mult decat puteti crede! Domnul sa va lumineze in continuare!

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Ma bucur daca v-a fost de folos. Numai bine!

      Ștergere
  2. imi puteti rezolva si asta =suma a doua numere este 906.daca scadeti dintr-un numar pe 3 si il adaugati la celalalt cele doua numere vor fi egale . descomeriti care sunt numerele

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. a /---------------/xxx/
      b /-------/+++/

      De la a scad 3, la b adaug 3, deci suma celor doua ramane constanta, dar voi obtine 2 parti egale 906:2=453

      b = 1parte - 3=453-3=450
      a = 1parte +3=453+3=456

      Verificare:
      456+450=906
      456-3=450+3
      453=453 adevarat

      Ștergere
  3. Sunteţi super.Toate felicitările şi urările de bine!Continuati tot aşa!

    RăspundeţiȘtergere
  4. fiul este cu 25 ani mai tnara decat tatal iar tatal are jumatatea din varsta bunicului. sa se afle varsta fiecaruia.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Lipseste o informatie, suma varstelor sau altceva.

      Ștergere
    2. Iata desenul:

      baiatul /--------/
      tatal /--------/--(+25)--/
      bunicul /---------------------/-----------------------/

      Ștergere
  5. la o cofetarie s-au vandut intr-o zi 18 prajitui si inghetate.numarul inghetatelor a fost de 2 ori mai mare decat al prajiturilor.cate prjituri s-au vandut?dar inghetata

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. /----/ prajituri
      /----/----/ inghetate

      18:3 (parti)=6
      1parte=6 (prajituri)
      6x2=12 (inghetate)

      Verificare:
      12+6=18
      6x2=12

      Ștergere
  6. la un cerc de gimnastica sunt inscrisi 24 de copii. fetele sunt de 3 ori mai multe decat baietii. cate fete sunt la cercul de gimnastica? dar baieti?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. f+b=24
      f=3b
      Aflam nr de baieti: 3b+b=24
      4b=24
      b=6
      Aflam nr de fete: f=3b
      f=6x3
      f=18
      VERIFICARE: 18+6=24 adevarat

      Ștergere
  7. f+b=24
    f=3b
    Aflam nr de baieti: 3b+b=24
    4b=24
    b=6 baieti
    Aflam nr de fete: f=3b
    f=6x3
    f=18 fete

    RăspundeţiȘtergere
  8. Raspuns la problema:

    /---/ baieti
    /---/---/---/ fete
    24:4(parti)=6
    1 parte=6 (baieti)
    3 parti=6x3=18 (fete)

    Verificare:
    18+6=24
    6x3=18

    RăspundeţiȘtergere
  9. Suma a trei nr este70.primul este de doua ori mai mic decat al doilea,iar al treilea este cu 16 mai mare decat suma primelor doua.care sunt numerele

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. a /---/
      b /---/---/
      c /---/---/---/.+16./ (suma primelor 2 - a+b - reprezinta 3 segmente)

      70-16=54 (l-am scazut pe 16 ca sa aflu suma celor 6 segmente egale)
      54 :6=9 (1 parte) (puteti folosi termenul de parte sau segment)
      a=1 parte, a=9
      b=2 parti, b=9x2, b=18
      c=3 parti+16, c=3x9+16, c=27+16, c=43

      Verificare:
      a+b+c=70, 9+18+43=70, adevarat
      a=b:2, 9=18:2, adevarat
      c=a+b+16, c=9+18+16, 43=9+18+16, adevarat

      Ștergere
  10. Ma puteti ajuta si pe mine cu urmatoarea problema? Suma varstelor tatalui mamei si Carlei este 89 ani. Peste 2 ani mama va avea varsta de acum a tatalui iar peste 27 ani Carla va avea varsta de acum a mamei. Cati ani are fiecare?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Bineinteles ca va ajut, cu placere.

      I---I..........27..I Carla (cele doua segmente pt. Carla = segmentul 1 pentru mama )
      I--------------------I...2.I mama (cele doua segmente = segmentul pt. tata)
      I---------------------------I tata

      (se adauga, la dreapta, o acolada care cuprinde cele trei segmente, pe care se scrie 89, eu nu pot s-o fac aici)
      (acum trebuie gasite 3 segmente egale, se poate folosi ca referinta segmentul pentru mama sau segmentul pentru tata, chiar si cel pentru Carla.

      Varianta 1 voi utiliza segmentul pentru mama.
      89+27-2=114 (suma varstelor in prezent este 89, la ea adaug 27 pentru Carla si scad 2 pentru tata, motivul este acela de a pastra egalitatea constanta in cazul adaugarii/ scaderii unor cifre)
      114:3=38, adica 1 parte = mama
      1parte +2=38+2=40 (tata)
      1parte -27=38-27=11 (Carla)

      Var. 2: daca foloseam ca referinta segmentul tata atunci aveam
      89+27+2+2=120, 120:3=40 adica 1 parte=tata 40-2=38 mama, 40-27-2=11 Carla

      Var. 3 se putea utiliza si Carla, ca referinta, dar e mult mai greu pentru copil sa vada,
      89-2-27-27=33, 33:3=11, adica 1parte=Carla, 11+27=38 mama, 11+27+2=40 tata

      Verificare:
      Carla+mama+tata=89
      11+38+40=89,
      89=89 adevarat
      11+27=38
      38+2=40

      Alegeti care varianta va place.

      Ștergere
  11. Afla doua numere naturale, stiind ca impartindu-le obtinem catul 9 si restul 176. Daca primul numar ar fi micsorat cu 1801 si al doilea cu 175, atunci catul ar fi 8.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Aceasta este o problema delicata datorita desenului care se complica. Nu-l pot reproduce in acest spatiu motiv pentru care adaug un PS la postare.

      Ștergere
  12. Va rog , daca se poate, sa ma ajutati cu rezolvarea urmatoarei probleme prin metoda figurativa (algebric am rezolvat-o)

    Aflați vârstele Alinei și a mamei sale știind că în urmă cu doi ani vârsta mamei era de patru ori mai mare decât vârsta Alinei, iar peste patru ani vârsta Alinei va fi de trei ori mai mică decât vârsta mamei.

    Va multumesc!

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Sper sa va ajunga raspunsul in timp util!

      /-----/ Alina
      /-----/-----/-----/-----/ mama (primele date ale problemei)

      va trebui sa adaug cate un segment si sus si jos punctat care sa reprezinta (2+4=6 adica anii care se adauga pentru a face raportul de 1 la 3. Pentru ca nu imi permite formatarea acestui mesaj voi pune intai segmentul de 6 ca sa se inteleaga desenul)

      /.6./-----/ Alina
      /.6./-----/-----/-----/-----/ mama
      De pe desen se observa ca primele doua segmente sunt la fel si sus si jos. Acum pe desen se completeaza sub ultimile trei segmente de la mama astfel - eu nu pot face aici ca imi aliniaza imaginea de la capat asa ca o sa extrag ultimele trei segmente de la mama si arat cum se completeaza
      /------/-----/-----/
      /-----/6+6/-----/
      Acum se vede din desen ca 1 parte = 6+6=12, dar o parte este exact varsta Alinei cu 2 ani in urma deci Alina=14 ani
      Varsta mamei in urma cu doi ani =4x12=48, in prezent 48+2=50, deci
      Mama = 50 ani

      Verificare
      12 + 2 = 14 + 4 = 18
      12x3 + 2 = 50 + 4 = 54, adica 18x3

      Ștergere

Pe acest blog vor fi afisate doar comentariile care folosesc un limbaj adecvat si au legatura cu subiectele prezentate.

Recomandare


Penguin Kids 1: Dumbo


Penguin Kids Level 1: Dumbo



Cartile de povesti de la Penguin Kids:

Dumbo - nivelul 1, pentru incepatorii care au parcurs 50 ore de engleza si au un vocabular de aproximativ 200 de cuvinte.

Cartea are 16 pagini si activitati interesante la final. Mai mult puteti descarca materialul profesorului de aici.

Colectia continua pana la nivelul 6 corespunzator lui A1++ (CEFR).

Vrei sa imi citesti postarile direct in casuta ta postala?