marți, 15 octombrie 2013

Metoda figurativa - Metoda grafica - Metoda segmentelor - Tipuri de probleme rezolvate

Metoda figurativa (sau metoda grafica) este o metoda matematica de rezolvare a problemelor, care face parte din programa scolara a clasei a IV-a. O puteti intalni si mai devreme, in culegeri sau la unele concursuri scolare.

Aceasta metoda presupune rezolvarea unei probleme prin figurarea datelor sub forma de linii, figuri sau diferite ale forme grafice.
Metoda segmentelor este de fapt tot metoda figurativa, dar se refera doar la problemele in care reprezentarea datelor problemelor se face cu ajutorul segmentelor.

Pentru exemplificare, voi prezenta rezolvarea unei probleme, atat prin metoda grafica cat si algebric:

Exemplu 1:
Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

Var. 1 - metoda grafica

Figurarea datelor - pentru varsta Irinei vom desena un segment, iar pentru varsta mamei vom desena 6 segmente unite astfel:




Dupa cum vedem in total sunt 6 segmente (mama) + 1 (Irina) = 7 segmente (sau parti)

pentru a afla o parte calculam 35 : 7 = 5 , pentru ca o parte este chiar varsta Irinei, atunci Irina = 5 ani,

varsta mamei o putem calcula in doua moduri:
fie 35-5=30 ani

fie 6 parti x 5 = 30 ani



Var. 2 - algebrica

Notam cu x varsta Irinei,

x + 6x = 35
7x = 35
x = 35:7
x=5 ani (Irina),

35-5=30 (mama)

In rezolvarea algebrica am folosit factorul comun (pentru a aduna x+6x), care face parte din materia de clasa a V-a. Acesta este motivul pentru care ”se complica” copiii, nu au toate cunostintele pentru a rezolva algebric ... asa cum ne place noua parintilor.


Tipuri de probleme

In cadrul acestei metode grafice sunt o multime de tipuri de probleme, iar o parte dintre ele voi incerca sa le prezint mai jos, rezolvate.

1) Andrei si Sorin au impreuna 80 de timbre. Andrei are cu 20 mai multe timbre decat Sorin. Cate timbre are fiecare baiat?

- desenam un segment care figureaza cate timbre are Sorin, apoi altul pentru timbrele lui Andrei atfel:




aflam cate timbre ar avea cei doi copii impreuna daca ar avea un numar egal de timbre?

80-20 = 60 (timbre)

apoi cat reprezinta o parte? (sau Cate timbre are Sorin?)

60:2 = 30 (timbre Sorin)

30+20 = 50 (timbre Andrei)

Verificare: 30+50=80

Atentie! In cazul in care ati optat pentru a afla cate timbre are Andrei astfel: 80-30=50, rezultatul este corect, dar verificarea nu mai aduce siguranta ca nu exista nici o greseala deoarece 30+50=80 este operatia inversa. In rezolvarea mea am aflat cate timbre are Andrei tot cu ajutorul segmentelor.

O explicatie animata si pe gustul copiilor gasiti aici.


Varianta mai complicata

3 numere consecutive au suma 402, care sunt acestea?

In primul rand copilul trebuie sa stie ca un numar consecutiv se scrie cu ”+1” (fie n un numar natural, numarul consecutiv acestuia este n+1)

Apoi reprezentam grafic trei numere consecutive, cu suma 402:




(402-3) : 3 = 399 : 3 = 133 (numarul 1)
133 + 1 = 134 (numarul 2)
133 + 1 + 1 = 135 (numarul 3)

V: 133+134+135 = 402

* Rezolvarea algebrica pentru acest tip de problema o gasiti aici

2) In parc se joaca 20 de fete si baieti. Stiind ca baietii sunt cu 10 mai putini decat fetele, aflati cati baieti si cate fete se joaca in parc.

Aceasta problema o putem rezolva in doua moduri:

A) figurand exact datele problemei




(20+10) : 2 = 30 : 2 = 15 (1parte = numarul de fete)
15-10 = 5 (numarul de baieti)

V: 15+5=20

B) la fel ca la varianta 1, considerand ca fetele sunt cu 10 mai multe ceea ce este acelasi lucru cu baietii sunt cu zece mai putin si atunci desenam:



(20-10) : 2 = 10:2 = 5  (1 parte = numarul de baieti)
5+10 = 15 (numarul de fete)

Verificare: 5+15=20



3)  Mama si Irina au impreuna 35 ani. Stiind ca mama are de 6 ori varsta Irinei, sa se afle cati ani au fiecare.

- vezi rezolvarea de mai sus


Varianta
Suma a doua numere este 35, iar catul lor este 6. Aflati numerele.

- daca catul este 6 inseamna ca unul dintre numere este de sase ori mai mare decat celalalt, deci este aceeasi rezolvare ca la problema cu mama si Irina.


4) Intr-o curte sunt gaini si rate. Numarul gainilor este de trei ori mai mare decat numarul ratelor. Daca scazi din numarul gainilor numarul ratelor obtii 20. Cate gaini si cate rate sunt in curte?



(puteti explica usor copilului cu ajutorul unor creioane colorate sau carioci, in loc de segmente)

2parti = 20
1p = 20 : 2
1p = 10 (numarul de rate)
10 x 3 = 30 (numarul de gaini)

V: 30-10=20


Varianta
Diferenta a doua numere este 20, iar catul 3. Aflati numerele. 

rezolvarea este aceeasi ca in cazul problemei cu rate si gaini.


Varianta mai complicata (o combinatie a variantelor de mai sus)

La o gradinita s-au adus 138 de cutii: cutii cu unt, cutii cu lapte de trei ori multe, iar cutii cu iaurt cu 2 mai putine decat cele de lapte. Cate cutii de fiecare fel s-au primit?




(138 + 2) : 7 = 140 : 7 = 20 (1parte = cutii cu unt)
20 x 3 = 60 (cutii cu lapte)
60 - 2 = 58 (cutii cu iaurt)

V: 20+60+58=138



5) O ciocolata costa cat sase paini, iar o ciocolata si 4 paini costa 10 lei. Cat costa o paine, dar o ciocolata?




10:10 = 1 (1parte = 1leu = pretul painii)
6 x 1 = 6 (pretul ciocolatei)

V: 4x1+6=10


6) Daca dintr-un cont bancar se scot 50 de lei si se pun in alt cont, atunci in primul cont vom avea de doua ori mai multi bani decat in al doilea cont. Cati bani se afla in ficare cont daca suma totala a banilor din cele doua conturi este de 300 lei.

Pentru a usura rezolvarea eu scriu datele problemei:

C1 + C2 = 300

(C1-50) : 2 = C2 +50

Putem desena pornind de la contul 1 - trasand o dreapta pe care vom pune un segment la dreapta reprezentand -50, apoi restul dreptei o impartim in doua segmente egale. Apoi, desenam o dreapta egala cu primul segment desenat pentru C1, stergem din ea o parte egala cu segmentul -50, pe care o vom redesena punctat. Desenul meu a iesit asa:




Se poate desena si pornind de la contul 2, pe care il vom figura din doua parti un normala si una punctata, apoi desenam contul 1 care este format dintr-un segment egal cu contul 2 plus inca un segment egal cu primul plus al treilea segment egal cu segmentul punctat din contul 2.


Dupa desen sau mai bine zis privind la el, observam ca avem o parte care se muta de sus jos, practic nu afecteaza cu nimic suma totala de bani, dar mutarea permite crearea a 3 parti egale cu 300.

3p=300

1p = 300 : 3 = 100

contul 2 - nu este un segment intreg deoarece are o parte punctata, adica care nu exista in realitate de aceea vom scrie

100-50 = 50 (lei - contul 2)

contul 1 = 2 parti + 50, adica

2 x 100 + 50 = 200 + 50 = 250 (lei - contul 2)


V: 250+50=300


7) Afla varsta a trei frati, stiind ca primul este de trei ori mai mic decat al treilea, al treilea este mai mare decat al doilea de doua ori, iar diferenta dintre cel mai mare si mijlociu este de 6 ani.

Datele problemei pentru a putea crea desenul:

(Notam cu F1 fratele cel mai mare, F2 fratele mijlociu si F3 ultimul nascut.)

F1 = 3 x F3

F1 = 2 x F2

F1 - F2 = 6
-------------

F1 = ?, F2 = ?, F3 = ?


Vom incepe desenul cu fratele cel mai mare pe care il vom pozitiona in mijloc, avand in vedere ca vom desena in functie de el ceilalti doi frati: un fragment de trei ori mai mic (fratele cel mai mic) si altul de doua ori mai mic (fratele mijlociu). Eu am ales sa desenez un segment care sa aiba ca dimensiune un numar care se imparte atat cu 3, cat si cu 2, adica 6 cm. Fratele cel mai mic l-am figurat deasupra fratelelui cel mai mare, printr-un segment de 2 cm (6:3), iar fratele mijlociu l-am figurat ultimul, printr-un segment de 3 cm. Desenul meu arata asa:




Din desen se vede usor rezolvarea:

fratele mijlociu =  6 ani (diferenta de varsta este 1parte = 6 ani, care este egala chiar cu varsta fratelui mijlociu)
fratele mare:  6 x 2p = 12 ani
fratele mic: 12 : 3 = 4 ani



8) ”Varsta mamei este de 13 ori mai mare decat varsta fiicei. Peste 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei. Afla care este varsta fiecareia. ” (Problema 76, pag. 42 Culegere de exercitii si probleme pentru clasa a IV-a, autori Mariana Mogos, Stefan Pacearca, Editura Aramis - vezi la sfarsit prezentarea)

Datele problemei:

M=13 x F, unde M= mama si F= fiica

M + 6 = 4 x (F+6)
----------------------------------------
M=?    F=?

In acest caz desenul meu este compus din doua desene suprapuse si anume:
1 - M=13 x F
2 - situatia de peste 6 ani, cand M+6=4x(F+6)

Voi incepe cu figurarea a 13 casute pentru mama si o casuta mai jos pentru fiica.

Precizare 1: Folositi intotdeauna coli de matematica pentru realizarea desenelor la metoda figurativa.

Precizare 2: Pentru problemele care au un nivel de dificultate ridicat si in care conteaza proportiile (cum este aceasta problema), creati intai o reprezentare grafica aproximativa, apoi redesenati pentru  a respecta proportiile cerute de problema si a vedea usor rezolvarea.


Ne reintoarcem la desenul nostru care arata astfel:



Pentru a realiza desenul 2 (situatia peste 6 ani) trebuie sa audaugam cate 6 ani adica cate un segment punctat atat la mama cat si la fiica, cam asa:





pentru a vizualiza mai usor rezolvarea, in acest caz, propun mutarea reprezentarii grafice pentru fiica la dreapta, astfel


am adaugat si o dreapta perpendiculara pentru a usura explicatia urmatoare - dupa 6 ani varsta fiicei va fi de patru ori mai mica decat varsta mamei, deci daca numaram segmentele desenate la mama in stanga dreptei ne va da cifra 12. Cele 12 segmente sunt de fapt de trei ori varsta fiicei peste sase ani (pentru ca 13 segmente + 6 ani sunt de 4 ori vasta fiicei peste 6 ani) , adica o parte va fi formata din 4 segmente, iar desenul final, completat va arata astfel:



Acum se poate observa ca:

1p = 4 segmente = 1segment + 6 ani, de aici deducem ca

3 segmente = 6
1 segment = 6 : 3 = 2 (ani) , aceasta este chiar varsta fiicei
13 x 2 = 26 (ani - varsta mamei)

V: 26 + 6 = 4 (2+6)
           32 = 4 x 8
           32 = 32, adevarat



Daca doriti sa exersati astfel de probleme cu cel mic, va recomand calduros aceasta culegere:
(aici poti comanda)


(Pentru a afla cum sa comanzi on-line vezi informatiile de la sfarsitul articolului acesta.Pentru fiecare a existat o prima data cand nu prea stia cum ...)


in ea gasiti toate tipurile de probleme prezentate mai sus (nu cu acelasi text deoarece problemele din acest articol sunt create de mine, exceptie varianta 8).

Culegerea contine peste 100 de probleme cu metoda figurativa (eu in alte culegeri am gasit un numar mult mai mic) si nivelul de dificultate este de la mediu catre performanta. Mai mult, gasiti si alte tipuri de probleme cu figurarea datelor asa cum am prezentat eu in articolul  Probleme de matematica care se rezolva prin figurarea datelor 

Alte resurse pe care le-am gasit pe net, dar nu le-am incercat:
Pentru a vedea cum putem rezolva o problema de clasa a IV-a prin metoda grafica vs. fractii, cititi articolul Metoda grafica si fractiile!

Iar la final, trebuie sa va marturisesc ca am constatat, nu demult, ca metoda grafica era si in materia de clasa a IV-a de pe vremea noastra, a parintilor, iar daca nu ma credeti, iata aici cuprinsul manualului cu princina (la adresa respectiva gasiti chiar manualul, daca vreti sa il cititi).


Actualizare 20.01.2014
Am gasit si un soft educational cu ajutorul caruia copiii pot exersa metoda grafica:

Film de prezentare si detalii gasiti AICI


sursa foto-printscreen




















**********************

P.S. - am introdus aceasta completare pentru a raspunde unui cititor deoarece acest tip de problema este unul complicat si nu se regaseste in mod clar in exemplele prezentare mai sus.

Textul problemei preluat din comentariu anonim 2 iunie 2014 "Afla doua numere naturale, stiind ca impartindu-le obtinem catul 9 si restul 176. Daca primul numar ar fi micsorat cu 1801 si al doilea cu 175, atunci catul ar fi 8."
Datele problemei se prezinta astfel:
a:b=9 r 176
(a-1801): (b-175)=8

Desenul meu:


cu albastru e primul set de date, iar partea cu verde se suprapune peste primul desen pentru a arata ce valori cunoastem  si cum putem afla o parte

1801 - 175x8 - 176 =1p
225 = 1p (adica b)
225x9+176=2201 (a)

Verificare:
2201:225=9 r(176)
(2201-1801) : (225-175)=400:50=8

*****

P.P.S - iata un nou exemplu care merita sa stea in galeria tipurilor de probleme care pot fi rezolvate prin metoda grafica, in ciclul primar. Aceasta problema se rezolva (cel mai simplu) prin sistem de ecuatii cu doua necunoscute, in clasele gimnaziale, de aceea mi s-a parut foarte interesant sa aplic metoda grafica specifica clasei a IV-a.

Textul problemei preluat din comentariul din 19 august 2014 - "Un bazin se umple cu apa prin doua robinete. Daca primul este deschis 6 ore si al doilea 4 ore, in bazin curg 216 hl apa. Daca primul robinet este deschis 3 ore si al doilea 9 ore, in bazin s-ar aduna 276 hl apa. Ce debit pe ora are fiecare din cele doua robinete?"

Algebric, datele problemei se prezinta astfel:
6x + 4y = 216 hl
3x + 9y = 276 hl

Primul meu desen contine reprezentarea datelor problemei:


Prin segmentul albastru am reprezentat cantitatea de apa care curge din robinetul 1 intr-o ora si prin segmentul negru, putin mai mare, cantitatea de apa care curge din robinetul 2 intr-o ora.

Din comparatia celor doua desene observ ca rezolvarea s-ar putea face prin diferenta, dar atunci imi raman 3 segmente albastre sus si 5 negre jos, deci un fel de mere cu pere. Pentru a putea urma acest gen de rezolvare  (diferenta) trebuie sa gasesc o varianta de a ramane cu segmente doar de un tip (o singura necunoscuta). Observ ca segmentele albastre de jos sunt jumatate din cele de sus deci daca dublez intreg desenul de jos voi putea cunoaste valoare unor parti din segmente (6x+4y) si vor ramane doar segmente negre ca diferenta.

Desenul al doilea se transforma astfel:



Din acest punct se transforma intr-o problema simpla, din care se observa ca 14 segmente negre (parti) = 552-216 = 336 => ca 1 segment negru = 24, deci din al doilea robinet curg 24hl intr-o ora.

6 segmente albastre = 216 - 4x24 = 216 - 96 = 120  => 1 segment albastru = 120 : 6 = 20, deci din primul robinet curg 20hl intr-o ora.

Verificare:
6x + 4y = 216hl,
6x20 + 4x24 = 120 + 96  = 216           Adevarat
3x + 9y = 276,
3x20 + 9x24 = 60 + 216 = 276            Adevarat


*****

P.P.P.S - iata un nou exemplu care se poate rezolva prin metoda grafica, dar figurarea datelor presupune un alt tip de desen decat cel clasic cu segmente. 

Textul problemei preluat din comentariul din 3 octombrie 2014 - "Daca marim latura unui patrat cu 2m, aria lui se mareste cu 36m patrati. Care este perimetrul initial al patratului?"

Desenul de aceasta data este un patrat cu latura L, iar deasupra acestuia am desenat un alt patrat cu latura L+2 .


Din textul problemei stiu ca diferenta intre prima arie (L patrat) si cea de-a doua arie ( (L+2) patrat) este de 36mp.

Din desen se abserva ca aceasta diferenta (36mp) este o suma de trei arii (cele doua dreptunghiuri albastru deschis si patratul albastru inchis).
- aria unui dreptunghi albastru deschis = 2xL sau 2L
- aria patratului este = 2x2 = 4

deci:
36 = 2L + 4 + 2L
36 = 4L + 4
4L = 36-4
4L = 32 

L = 32:4
L = 8 (latura - lungime initiala)

(Perimetrul = 8+8+8+8 = 4x8 = 32)

Problema se putea finaliza si fara aflarea unei laturi vezi partea scrisa cu rosu mai sus, dar eu as merge pana la aflarea unei laturi pentru a putea verifica rezultatul.

Verificare:
A initiala = 8m x 8m=64mp
A dupa marire = (8m+2m) x  (8m+2m) = 10x10 = 100mp
100mp - 64mp = 36mp                                                                        (adevarat)


59 de comentarii:

  1. Noi va multumim in mod deosebit, intru-cat explicatiile de la scoala nu pot ajunge pana la noi! ne-a ajutat mai mult decat puteti crede! Domnul sa va lumineze in continuare!

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Ma bucur daca v-a fost de folos. Numai bine!

      Ștergere
  2. imi puteti rezolva si asta =suma a doua numere este 906.daca scadeti dintr-un numar pe 3 si il adaugati la celalalt cele doua numere vor fi egale . descomeriti care sunt numerele

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. a /---------------/xxx/
      b /-------/+++/

      De la a scad 3, la b adaug 3, deci suma celor doua ramane constanta, dar voi obtine 2 parti egale 906:2=453

      b = 1parte - 3=453-3=450
      a = 1parte +3=453+3=456

      Verificare:
      456+450=906
      456-3=450+3
      453=453 adevarat

      Ștergere
  3. Sunteţi super.Toate felicitările şi urările de bine!Continuati tot aşa!

    RăspundeţiȘtergere
  4. fiul este cu 25 ani mai tnara decat tatal iar tatal are jumatatea din varsta bunicului. sa se afle varsta fiecaruia.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Lipseste o informatie, suma varstelor sau altceva.

      Ștergere
    2. Iata desenul:

      baiatul /--------/
      tatal /--------/--(+25)--/
      bunicul /---------------------/-----------------------/

      Ștergere
  5. la o cofetarie s-au vandut intr-o zi 18 prajitui si inghetate.numarul inghetatelor a fost de 2 ori mai mare decat al prajiturilor.cate prjituri s-au vandut?dar inghetata

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. /----/ prajituri
      /----/----/ inghetate

      18:3 (parti)=6
      1parte=6 (prajituri)
      6x2=12 (inghetate)

      Verificare:
      12+6=18
      6x2=12

      Ștergere
  6. la un cerc de gimnastica sunt inscrisi 24 de copii. fetele sunt de 3 ori mai multe decat baietii. cate fete sunt la cercul de gimnastica? dar baieti?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. f+b=24
      f=3b
      Aflam nr de baieti: 3b+b=24
      4b=24
      b=6
      Aflam nr de fete: f=3b
      f=6x3
      f=18
      VERIFICARE: 18+6=24 adevarat

      Ștergere
  7. f+b=24
    f=3b
    Aflam nr de baieti: 3b+b=24
    4b=24
    b=6 baieti
    Aflam nr de fete: f=3b
    f=6x3
    f=18 fete

    RăspundeţiȘtergere
  8. Raspuns la problema:

    /---/ baieti
    /---/---/---/ fete
    24:4(parti)=6
    1 parte=6 (baieti)
    3 parti=6x3=18 (fete)

    Verificare:
    18+6=24
    6x3=18

    RăspundeţiȘtergere
  9. Suma a trei nr este70.primul este de doua ori mai mic decat al doilea,iar al treilea este cu 16 mai mare decat suma primelor doua.care sunt numerele

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. a /---/
      b /---/---/
      c /---/---/---/.+16./ (suma primelor 2 - a+b - reprezinta 3 segmente)

      70-16=54 (l-am scazut pe 16 ca sa aflu suma celor 6 segmente egale)
      54 :6=9 (1 parte) (puteti folosi termenul de parte sau segment)
      a=1 parte, a=9
      b=2 parti, b=9x2, b=18
      c=3 parti+16, c=3x9+16, c=27+16, c=43

      Verificare:
      a+b+c=70, 9+18+43=70, adevarat
      a=b:2, 9=18:2, adevarat
      c=a+b+16, c=9+18+16, 43=9+18+16, adevarat

      Ștergere
  10. Ma puteti ajuta si pe mine cu urmatoarea problema? Suma varstelor tatalui mamei si Carlei este 89 ani. Peste 2 ani mama va avea varsta de acum a tatalui iar peste 27 ani Carla va avea varsta de acum a mamei. Cati ani are fiecare?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Bineinteles ca va ajut, cu placere.

      I---I..........27..I Carla (cele doua segmente pt. Carla = segmentul 1 pentru mama )
      I--------------------I...2.I mama (cele doua segmente = segmentul pt. tata)
      I---------------------------I tata

      (se adauga, la dreapta, o acolada care cuprinde cele trei segmente, pe care se scrie 89, eu nu pot s-o fac aici)
      (acum trebuie gasite 3 segmente egale, se poate folosi ca referinta segmentul pentru mama sau segmentul pentru tata, chiar si cel pentru Carla.

      Varianta 1 voi utiliza segmentul pentru mama.
      89+27-2=114 (suma varstelor in prezent este 89, la ea adaug 27 pentru Carla si scad 2 pentru tata, motivul este acela de a pastra egalitatea constanta in cazul adaugarii/ scaderii unor cifre)
      114:3=38, adica 1 parte = mama
      1parte +2=38+2=40 (tata)
      1parte -27=38-27=11 (Carla)

      Var. 2: daca foloseam ca referinta segmentul tata atunci aveam
      89+27+2+2=120, 120:3=40 adica 1 parte=tata 40-2=38 mama, 40-27-2=11 Carla

      Var. 3 se putea utiliza si Carla, ca referinta, dar e mult mai greu pentru copil sa vada,
      89-2-27-27=33, 33:3=11, adica 1parte=Carla, 11+27=38 mama, 11+27+2=40 tata

      Verificare:
      Carla+mama+tata=89
      11+38+40=89,
      89=89 adevarat
      11+27=38
      38+2=40

      Alegeti care varianta va place.

      Ștergere
  11. Afla doua numere naturale, stiind ca impartindu-le obtinem catul 9 si restul 176. Daca primul numar ar fi micsorat cu 1801 si al doilea cu 175, atunci catul ar fi 8.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Aceasta este o problema delicata datorita desenului care se complica. Nu-l pot reproduce in acest spatiu motiv pentru care adaug un PS la postare.

      Ștergere
  12. Va rog , daca se poate, sa ma ajutati cu rezolvarea urmatoarei probleme prin metoda figurativa (algebric am rezolvat-o)

    Aflați vârstele Alinei și a mamei sale știind că în urmă cu doi ani vârsta mamei era de patru ori mai mare decât vârsta Alinei, iar peste patru ani vârsta Alinei va fi de trei ori mai mică decât vârsta mamei.

    Va multumesc!

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Sper sa va ajunga raspunsul in timp util!

      /-----/ Alina
      /-----/-----/-----/-----/ mama (primele date ale problemei)

      va trebui sa adaug cate un segment si sus si jos punctat care sa reprezinta (2+4=6 adica anii care se adauga pentru a face raportul de 1 la 3. Pentru ca nu imi permite formatarea acestui mesaj voi pune intai segmentul de 6 ca sa se inteleaga desenul)

      /.6./-----/ Alina
      /.6./-----/-----/-----/-----/ mama
      De pe desen se observa ca primele doua segmente sunt la fel si sus si jos. Acum pe desen se completeaza sub ultimile trei segmente de la mama astfel - eu nu pot face aici ca imi aliniaza imaginea de la capat asa ca o sa extrag ultimele trei segmente de la mama si arat cum se completeaza
      /------/-----/-----/
      /-----/6+6/-----/
      Acum se vede din desen ca 1 parte = 6+6=12, dar o parte este exact varsta Alinei cu 2 ani in urma deci Alina=14 ani
      Varsta mamei in urma cu doi ani =4x12=48, in prezent 48+2=50, deci
      Mama = 50 ani

      Verificare
      12 + 2 = 14 + 4 = 18
      12x3 + 2 = 50 + 4 = 54, adica 18x3

      Ștergere
  13. Va rog sa ma ajutati cu rezolvarea urmatoarei probleme:
    Maria are o suma de bani de patru ori mai mare decat cea a lui Victor. Daca ea i-ar da 90 de lei, atunci sumele lor ar deveni egale. Cati lei are fiecare?
    Va multumesc!

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. /----/----/----/----/ Maria
      /----/ Victor

      Pe acelasi desen se completeaza, daca se pot folosi culorile este si mai bine (eu voi face altul, caci altfel nu se intelege)

      /----/----/----/------/ Maria
      /.-90/
      /----/..+90./ Victor

      Din desen - cel frumos pe foaie de mate, nu al meu :)
      se observa ca 3parti=90+90=180, rezulta
      1parte=180:3=60 (adica Victor)
      4parti=60x4=240 (Maria)

      Verificare:
      240:4=60 Adevarat
      240-90=60+90
      150=150 Adevarat

      Ștergere
    2. Completare - la desenul 2, /..-90./ trebuia sa fie in partea dreapta (ultimul segment de la Maria +1/2 din penultimul), dar acest editor de text il aliniaza la stanga.

      Reveniti cu un comentariu daca ceva nu este clar.

      Ștergere
  14. Va rog sa ma ajutati cu aceasta problema:
    Un bazin se umple cu apa prin doua robinete. Daca primul este deschis 6 ore si al doilea 4 ore, in bazin curg 216 hl apa. Daca primul robinet este deschis 3 ore si al doilea 9 ore, in bazin s-ar aduna 276 hl apa. Ce debit pe ora are fiecare din cele doua robinete?
    Va multumesc anticipat!

    RăspundeţiȘtergere
  15. Exemplul dumneavoastra a fost foarte interesant pentru mine deoarece pana acum am rezolvat astfel de probleme prin sistem de ecuatii si a fost o provocare sa caut rezolvarea prin metoda grafica.
    Rezolvarea o gasiti la sfarsitul postarii (P.P.S.) deoarece am vrut sa atasez un desen cat mai clar din care sa rezulte solutia problemei.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Acum am inteles cum sa o rezolv! Va multumesc mult! Aveti har!

      Ștergere
  16. buna ziua.ma puteti ajuta si pe mine va rog in rezolv unei probl?
    suma a 5 nr consecutive este 30.afla nr 9prin 2 metode..cu cat e mai mic 1 decat ultimul?
    eu am calc 30-5=25 25;5 =5 care era 1 nr al doilea +1.al 3lea +1+2 si tot asa.si nu imi da corect unde gresesc?


    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Greseala este la 30-5=25, deoarece era 30-10=20, iata de ce:
      /---/ primul nr.
      /---/../ al doilea nr. (+1)
      /---/../../ al treilea nr. (+2)
      /---/../../../ al patrulea nr. (+3)
      /---/../../../../ al cincilea nr. (+4)

      din desen se observa ca avem 30-(1+2+3+4)=30-10=20
      1 parte = 20:5=4 (primul numar)

      Deci numerele sunt: 4,5,6,7,8
      Verificare:
      4+5+6+7+8=30

      Cu cat este mai mic primul numar decat al doilea?
      Varianta 1 - pe desen se observa ca diferenta dintre primul si ultimul o reprezinta 4 segmente, fiecare fiind egal cu 1, deci 4x1=4
      Varianta 2 - dupa aflarea celor 5 numere, se calculeaza 8-4=4

      Ștergere
  17. nu vreau sa fiu profitoare dar habar nu am sa rezolv urmat problema:
    daca adun 7 nr consecutive pare obtin 70.afla nr prin 2 metode
    va rog daca se poate sa ma ajutati sa deslusesc tainele ei

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Prima metoda este similara problemei anterioare doar ca in loc de segmente de "1", se folosesc segmente de "2".

      /---/ primul nr.
      /---/.../ al doilea nr. (+2)
      /---/.../.../ al treilea nr. (+2x2)
      /---/.../.../.../ al patrulea nr. (+2x3)
      /---/.../.../.../.../ al cincilea nr. (+2x4)
      /---/.../.../.../.../.../ al saselea nr. (+2x5)
      /---/.../.../.../.../.../.../ al saptelea nr. (+2x6)

      (pentru un desen mai clar se pune cate un doi deasupra fiecarui segment de tipul /.../)

      Numaram segmentele de "2" de la toate desenele = 21
      21x2=42
      70-42=28
      1p=28:7=4 (primul nr.)
      4+2=6 (al doilea nr)
      4+2+2=8 (al treilea nr.)
      ...
      4+2+2+2+2+2+2=16 (al saptelea nr.)

      Raspuns: 4,6,8,10,12,14,16
      Verificare:
      4+6+8+10+12+14+16=70

      A doua varianta poate fi tot prin metoda grafica, dar in loc de o multime de segmente de "2" punem unul singur cu suma lor, astfel:
      /---/ primul nr.
      /---/.../ al doilea nr. (+2)
      /---/....../ al treilea nr. (+4)
      /---/........./ al patrulea nr. (+6)
      /---/............/ al cincilea nr. (+8)
      /---/.............../ al saselea nr. (+10)
      /---/................../ al saptelea nr. (+12)

      (pentru un desen clar, pe foaia de matematica se poate face corespondenta +2-> 2 patratele, +4 -> patratele ...)

      70-(2+4+6+8+10+12)=
      =70-42=28
      1p=28:7=4 (primul nr.)
      4+2=6 (al doilea nr)
      4+4=8 (al treilea nr.)
      ...
      4+12=16 (al saptelea nr.)
      R.: 4,6,8,10,12,14,16

      Dar a doua metoda, total diferita, poate fi cea algebrica:

      n+(n+2)+(n+4)+(n+8)+(n+10)+(n+12)= 70
      (desfac parantezele care nu au valoare aici si grupez termenii cu necunoscuta in stanga)
      n+n+n+n+n+n+n+2+4+6+8+10+12=70
      7n+42=70
      7n=70-42
      7n=28
      n=4
      n+2=4+2=6
      ...
      n+12=4+12=16

      Sper ca v-am fost de ajutor :)

      Ștergere
  18. daaaaaaaaaaaaaaa.sarumana.eram total in ceata

    RăspundeţiȘtergere
  19. va rog sa ma ajutati si pe mine
    In 3 lazi sunt 410 kg fructe.Tripul cantitatii de mere este cu 5 kg mai mic decat cantitatea de portocale, iar cantitatea de banane este cu 15 kg mai mare decat cea de portocale. Cate kg sunt de fiecare fel?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Luam ca referinta cantitatea de mere si reprezentam celelalte fructe in functie de aceasta:
      /--------/ mere
      /--------/--------/--------/..+5kg./ portocale (pentru ca 3m=p-5, deci p=3m+5)
      /--------/--------/--------/..+5kg./......+15kg...../ banane (pentru ca b=p+15=3m+5+15)

      numaram toate segmentele si apoi scriem (p=parte sau segment):
      7p=410kg-5kg-5kg-15kg
      7p=385kg
      1p=385kg:7
      1p=55kg (mere)
      3p+5kg=3x55kg+5kg=170kg (portocale)
      170kg+15kg=185kg (banane)

      Verificare:
      55kg+170kg+185kg=410kg adevarat
      3x55kg=170kg-5kg
      165kg=165kg adevarat

      Ștergere
    2. ms ca m-ai ajutat ca mie nu-mi dadea deoarece eu imparteam la 9 si imi dadea cu rest. am facut altfel schema, cred ca ma incurca triplu

      Ștergere
  20. rugaminte
    Intr-o ferma sunt 920 de pui si gaini.Diferenta dintre numarul puilor si al gainilor este 690.Cati lei se incaseaza daca se vand 1/5 din numarul puilor si 3/5 din numarul gainilor, cunoscand ca o gaina si un pui costa 9000 lei, iar o gaina costa cu 3000 de lei mai mult decat un pui?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. I Cate gaini si cati pui sunt?
      /------/ gaini
      /------/..690.../ pui

      2p = 920-690 (unde p=parte sau segment)
      2p = 230
      1p = 115 (gaini)
      115+690=805 (pui)

      Verificare: 115+805=920 adevarat

      II Cat costa o gaina si cat costa un pui?
      /------/ (pretul unui pui)
      /------/.....3000../ (pretul unui gaini)

      2p = 9000 - 3000
      2p = 6000
      1p = 3000 (lei - pretul unui pui)
      3000+3000=6000 (lei - pretul unei gaini)

      Verificare 3000+6000=9000

      Cati lei se incaseaza pentru puii vanduti?
      1/5 din pui inseamna 1/5x805=805x1:5=161 pui

      161x3000=483000 lei

      Cati lei se incaseaza pentru gainile vandute?
      3/5 din 115 reprezinta 3/5x115=115x3:5=69 gaini

      69x6000=414000lei

      Cati lei se incaseaza (in total)?
      414000+483000=897000

      R:897000 lei

      Ștergere
    2. multumesc frumos

      Ștergere
  21. va rog ajutati-ma si pe mine. cred ca e o problema de logica si nu stiu daca o fac bine:

    Intr-o scoala sunt 1865 de elevi. Aratati ca cel putin 5 elevi isi serbeaza ziua de nastere in aceeasi zi a anului.

    trebuie sa tin cont de cate zile are anul?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Aceasta este o problema de logica.
      Pentru a verifica daca cel putin 5 elevi isi serbeaza ziua de nastere intr-o zi a anului trebuie ca 365x5 sa fie egal sau mai mare decat 1865.
      365x5=1825, cum 1825<1865, atunci intr-una din zile sunt cel putin 5 sarbatoriti.

      Ștergere
    2. merci, asa am gandit-o si eu dar nu eram sigura daca sa tin cont de zile anului sau trebuie rezolvata in alt fel

      Ștergere
  22. ma puteti ajuta si pe mine cu urmatoarea problema va rog
    Sase afle 3 numere daca primul nr impartit la al doilea da catul 5 si restul3,impartind pe al doilea la al treilea da catul 2 si restul 1 ;iar suma celor 3 este 269
    multumesc

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. scriem datele problemei pentru a usura realizarea desenului:
      a : b = 5 r3 => a=5 x b +3
      b : 3 = 2 r1 => b = 2 x c + 1

      astfel se vede ca numarul cel mai mic este c si celelalte numere pot fi reprezentate in functie de el:

      /---/ c
      /---/---/-1-/ b
      /---/---/-1-//---/---/-1-//---/---/-1-//---/---/-1-//---/---/-1-//--3-/ a (am pus // pentru a se vedea mai usor fiecare b, pe caiet se pot folosi linii mai mari sau mai groase)

      - tot din problema stim ca a+b+c=269, pe desen adunam partile:

      1p + 2p+1 + 2p+1+2p+1+2p+1+2p+1+2p+1+3 = 269
      13p + 9 = 269
      13p = 269-9=260
      1p= 260:13=20 (adica c)

      2p+1= 2x20+1 = 41 (adica b)

      10p+8= 10x20+8 = 200+8=208 (adica a)

      R: 20, 41, 208

      Verificare:
      20+41+208=269 - adevarat
      208:41=5 r3 - adevarat
      41:20=2 r1 - adevarat

      Ștergere
  23. Ma puteti ajuta va rog cu urmatoarea problema la matematica: Daca intr-o diferenta descazutul creste cu 12, iar scazatorul se micsoreaza cu 7, aflati cu cat creste diferenta?

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. //-----------------------// descazut
      //------------//.......... scazator

      Am reprezentat descazutul si scazatorul apoi adaug pe desen modificarile precizate de datele problemei:
      ////--------------------------//++12++++//// descazut
      ////-------////--7--//.......... scazator

      (la descazut mai adaug un segment pentru +12, iar din scazator iau o parte corespunzatoare lui 7)

      Din desen se observa ca diferenta dintre cele doua segmente descazutul si scazatorul se mareste, adica pe langa zona punctata se adauga segmentul corespunzator lui 12 si segmentul corespunzator lui 7.

      12+7=19 diferenta creste cu 19

      Ștergere
    2. MA PUTETI AJUTA CU REZOLVAREA ACESTEI PROBLEME?Diferenta a 2 nr este 340.Daca le impartim obtinem catul 4 si restul 10.Care sunt nr.?

      Ștergere
    3. Pentru a vedea cum se realizeaza desenul vom scrie:
      a:b=4 r10, => a=4xb+10

      si desenul va fi:
      /----/ b
      /----/----/----/----/..10.../ a

      a-b=340, din desen se observa ca diferenta este alcatuita din 3 segmente (parti) +10, deci:
      3p+10=340
      3p=340-10
      3p=330
      1p=330:3
      1p=110 (o parte este chiar b)

      a=4p+10
      a=4x110+10
      a=440+10
      a=450

      Raspuns: 110 si 450

      Verificare:
      450:110=4 r10 adevarat
      450-110=340 adevarat

      Ștergere
  24. Daca la un nr. adaugam treimea sa si patrimea sa obtinem 76.care este nr

    RăspundeţiȘtergere
  25. Daca desenez la prima vedere atunci ar iesi cam asa ceva

    /----------------------/ numarul x
    /-------/ 1/3 din x
    /----/ 1/4 din x

    se observa ca nu exista nici o corespondenta intre segmente, asa ca voi face o reprezentare a numarului x astfel incat sa pot sa-l impart in segmente similare indiferent daca ma refer la 1/3 sau la 1/4 din el. Voi alege x=12 segmente (am ales 12 deoarece 12=3x4)

    /---/---/---/---/---/---/---/---/---/---/---/---/ x
    /---/---/---/---/ 1/3 din x (12:3=4 segmente)
    /---/---/---/ 1/4 din x (12:4=3 segmente)

    12 segmente +4 segmente + 3 segmente = 76
    19 segmente = 76
    1 segment =76:19=4

    deci numarul este 12x4=48

    Verificare:
    48+1/3din 48+1/4din 48=
    =48+16+12=76 (adevarat)

    PS ideea mi-a venit de la figurile specifice capitolului fractii din clasa a IV-a unde copilul trebuie sa imparta segmentele de dreapta in diferite moduri.

    RăspundeţiȘtergere
  26. a rog ajutatima sa compun problema figurativa

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Varianta cea mai simpla este schimbarea datelor problemei Ana cu Maria si mama cu tata :)

      Pentru compunerea unei probleme se porneste de la desen, primul este de referinta, iar al doilea este mai mare cu ceva, sau de atatea ori. Se adauga o suma sau o diferenta. Apoi se pun niste personaje.

      Ex.: desenul
      /---/
      /---/---/---/
      Aleg suma: 48.

      Apoi personajele: gaini si rate.

      Problema mea: Intr-o curte sunt 48 de gaini si rate. Aflati cate gaini si cate rate sunt daca numarul ratelor este de trei ori mai mare decat cel al gainilor.

      Ștergere
  27. Va rog, frumos daca se poate, daca marim latura unui patrat cu 2m,aria lui se mareste cu 36m patrati. care este perimetru initial al patratului. Metoda figurativa, nivel clasa a 4 a.

    RăspundeţiȘtergere
    Răspunsuri
    1. Foarte, foarte interesanta problema, raspunsul il gasiti la sfarsitul postarii, deoarece am vrut sa atasez un desen concludent.

      Ștergere

Pe acest blog vor fi afisate doar comentariile care folosesc un limbaj adecvat si au legatura cu subiectele prezentate.

Vrei sa imi citesti postarile direct in casuta ta postala?

Recomandare

Copilul tau e pasionat de tableta sau calculator?

Joc pentru tableta -
Alfabetul prin integrame

Impartirea cu Matix


Atunci ofera-i jocuri educative din care poate retine mai usor alfabetul, numerele, operatiile matematice si multe alte cunostinte necesare la scoala.

Matematica cls. I